Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
^r1(Q) =—QEi—PBi. (44)
В силу глобального сохранения импульса равная и противоположно направленная сила будет приложена к черной дыре. Объединяя (40) и (44) и переходя к векторной форме записи (трехмерные векторы отнесены к асимптотически декартовой системе § 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
127
координат, в которой заданы E и В), находим для силы, действующей на вращающуюся заряженную черную дыру в постоянном и однородном электромагнитном поле, выражение
fBH = fQ+f/; fc = QE + PB; f/ = 4/3[JX[ВXE]]. (45)
Первое слагаемое соответствует ожидаемому (но требующему доказательства, альтернативный вывод см. в [137]) результату — на заряженную черную дыру в электрическом поле действует такая же сила, что и на точечный заряд. Второе слагаемое можно интерпретировать, используя соображения об индукционной разности потенциалов в магнитном (14) и электрическом (22) полях. Действительно, переписав f/ в виде
f/= 2/з[—2 (J. В) Е+2 (J - Е) вь (46)
нетрудно заметить, что первый член пропорционален силе, действующей на фиктивный электрический заряд Q' — —2аМВг (14) (создающий эквивалентную разность потенциалов) со стороны электрического поля Е, второй — силе, действующей на фиктивный магнитный заряд Р'=2аМЕг (22) в магнитном поле В. При этом компоненты указанных сил в направлении оси симметрии черной дыры взаимно уничтожаются.
Отметим еще одну возможную форму записи силы f/
Ї/ =—16/зя [JxS], (47)
где S= 1Aut [Ех В] — вектор Пойнтинга внешнего электромагнитного поля. Это выражение можно понимать как описывающее взаимодействие моментов количества движения черной дыры и электромагнитного поля.
Потеря углового момента
Пользуясь тем же методом, можно вычислить момент силы, действующей на черную дыру во внешнем электромагнитном поле. Согласно теореме Хокинга [25, 21], при вращении черной дыры во внешнем поле любой природы, не обладающем аксиальной симметрией, возникает явление, аналогичное приливному трению, в результате чего черная дыра теряет угловой момент. Б.сли внешнее поле само обладает осью симметрии (не совпадающей с осью симметрии черной дыры), то происходит потеря проекции момента на плоскость, перпендикулярную оси симметрии внешнего поля [152—154], т. е. ось вращения черной дыры как бы поворачивается вплоть до совмещения с осью симметрии поля. Здесь мы рассмотрим общий случай однородных электрического и магнитного полей, произвольно ориентированных в пространстве. Такое внешнее поле уже не обладает аксиальной симметрией (за исключением коллинеарной конфигурации), поэтому можно ожидать, что черная дыра будет полностью терять свой момент вращения. :128
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
Ограничиваясь случаем медленного вращения (а<М), вычислим момент силы, действующей на токонесущую оболочку, создающую однородное поле (32) внутри нее. Оказывается, что при учете лишь линейных членов по параметру вращения а ненулевой (конечный) при Го-^-оо вклад в декартовы компоненты плотности силы /^(()3=/;3' дают лишь члены разложения порядка г~3. Поэтому при вычислении момента силы можно воспользоваться формулой, справедливой в плоском пространстве
N = (j) (r0 х f(3)) го sin 6 de dq>, (48)
Го
тде под Го понимается трехмерный вектор с компонентами
Го=го (sin 0 cos ф, sioosinq), cos0), (49)
отнесенный к асимптотической декартовой системе координат. В результате вычисления интеграла (48) в пределе Го-»-оо находим
NX = 2/UM(BZBX + EZEX),
Ny=2/3JM (BzBy + EzEy), (50)
Nz=2/3JM (B2 + E2—Bz2I—Ez2).
Равный и противоположно направленный момент силы приложен к черной дыре. Результирующее уравнение для изменения углового момента дыры можно написать в трехмерном векторном виде
-^-=--V-(IBX[JXB]+[EX[JXE]]). (51)
at З
При E = O и выборе направления декартовых осей так, что By=O, получаем уравнения, рассмотренные в [155—156]
ILl = -A- MBxB ¦ ''^b-=--MB2x- -^JL = 0, (52) dt з х z dt 3 dt v '
из которых следует
J-B = Const, Ji = Jioe-"*, (53)
где время затухания поперечной к В компоненты момента Ji равно
Х = = Л M (JjlV (54)
2 B2M 2 \ В J
В рассматриваемом нами более общем случае, как следует из уравнения (51), проекция J-B (так же как и проекция на любой другой вектор) уже не является интегралом движения (за исклю- § 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
129
чением случая коллинеарных полей E и В). Для решения уравнения (51) перейдем к матричной записи
— =-Т J1 (55)
dt
где T — матрица 3x3 с компонентами
Tl7= ^-[(E2 + B^ii-BiBi-EiEl]. (56)
Покажем, что эта матрица не вырождена и положительно определена, за исключением случая коллинеарных E и В. Действительно, соответствующая квадратичная форма имеет вид
TtiVli = LL (E2 sin2 0? + B2 sin2 Од), (57)
О
где 0? и 0б — углы между векторами Е, | и В, | соответственно. Выражение (57) неотрицательно, причем его обращение в нуль возможно лишь, если sin0? и sino? равны нулю одновременно, т. е. при коллинеарных E и В.
Найдем далее собственные значения матрицы Т, обозначая их через 1/та (а=1, 2, 3). Уравнение на собственное значение с учетом (56) можно записать в виде
