Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Как видно из формулы (8), разность доф—ф зависит только от wr, следовательно, члены, для которых тФПу, должны обращаться в нуль. Переходя к индексу суммирования п = пг + т, интенсивность гравитационного излучения получим в виде '136
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
I
/=Iim
SS-Ss-I-R-Mi--SS'- <17)
/•-»¦О) *яші ЛЯЖІ Mmi Ara
1=1 т=—1 л=-» 4JLUJnm п—Ш——оо
TLJX1,
где (o,;m = па, + mQ и Rimv = SnfJnRimn. Таким образом, в спектральном разложении интенсивности излучения вместо ряда по гармоникам кеплеровой частоты имеется двойной ряд по частотам (Опт, что отвечает расщеплению каждой спектральной линии с номером п на компоненты тонкой структуры, характеризуемые числом т. Релятивистские поправки порядка V2 полностью содержатся в мультиполях / = 2, 3. Поскольку |т|</, ясно, что с рассматриваемой точностью каждая гармоника кеплеровой частоты лсог будет расщепляться на семь компонент тонкой структуры с т = 0, ±1, ±2, +ЗІ.
Для построения радиальных функций Rimn нужно решить радиальное уравнение (7.86) с источником 2Тшп, в выражение (7.85) для которого следует подставить тензор энергии-импульса точечной частицы.
= (18)
где rp(t), фp{t) — координаты частицы, движущейся по траектории (10.22). Радиальные функции Rin и Rup при этом следует вычислить в длинноволновом приближении более точно, чем в § 7. Вычисления приводят к результатам для I = 2:
у"
<2m
W=-TT VTTa^Г-2МГ 5! г со
2і (г — 2М) со
11-со2(г-2М)2 + ^Ь^'). (19)
42 " ' г - 2М
При I = 3 радиальная функция содержит дополнительный множитель югооу, поэтому достаточно использовать решение, полученное в § 7, которое с нужной нам точностью имеет вид
Ri"m (Г)= VVr j^Hr-2М?¦ (2°) 5! f f Cdf 21
Оставляя члены основного порядка для каждой гармоники, найдем Inm = V2M3CT5Tnm, где
U = -TT n2J»> U±1 = ^rjT [83л2 (1 -Є2) T 20п УІ -є2 + 15 420 а
+ 12]/г2 ( Г1~е* Jn±J'n ' § 10. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ K ГРАВИТАЦИОННОМУ ИЗЛУЧЕНИЮ 137
1±2 = А { [ ± п ( ! _ e2)3/2J ^ Jn+ (П ]Л=? T 1) ^2 /п) \
(21)
In±а = -~- ( 2(4—є2) + 4/г2(1—є2)2 + (5є2—12)/г)/Г=?|х
X "/1-^ Jn+ Г(7є2 — 12) /г Vl—^B2 rb 4/г2(1 —є2)2 ± є3
±2(4-3 є2)]-^/;}2,
здесь Jn(ne) и Jn'(пе) — функции Бесселя и их производные.
Сумма парциональных интенсивностей In0, Inг, /n-г соответствует результату Петерса — Мэтьюса [160], в то время как /и±ь /п±з представляют собой релятивистские поправки (/„0, также содержат релятивистские поправки, которые не учитывались при получении (21)). В случае движения по окружности Inо = 0, т. е. основные линии имеют дублетный характер. С ростом эксцентриситета тонкая структура становится триплетной, и в пре-
Рис. 6. Тонкая структура спектра гравитационного излучения при квазиэллиптическом движении
дельном случае є->1 отношение /„0/Zn±2—>-2/3. Этот основной триплет сопровождается четырьмя слабыми линиями, имеющими интенсивности ІП± 1, /п±3 порядка MfdlXV2 по отношению к 1п±2 (рис. 6).
Для вычисления полной интенсивности гравитационного излучения с учетом релятивистских поправок выполним суммирование в (17) по п, используя следующее представление производных от б-функции:
2 /(^MW-fc, (.і)»«-*-^. (22)
/1=—оо
В результате получим для полной интенсивности гравитационного излучения выражение [164]:
/^JOgLfJM2 |g|. _ТЗ,е2+_67,
5 ІМ/ (1-є2)7/2 \ ^ 24 96
----+ За
- *2й
————— ПО) Г
- -га
-----за '138 IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
+-^-( 13—2018е2--1®93_ * JB®_ e\j (23)
168(1 — е2) V 4 |16 / j v '
где E= [Е—(л)/(x. Первые три члена в фигурных скобках в (23) соответствуют результату Петерса — Мэтьюса, а последний член представляет собой искомую релятивистскую поправку. Для кругового движения (є = 0) (23) совпадает с результатом Вагонера и Уилла [162]. Относительный вклад поправочного члена в (23) быстро возрастает с ростом эксцентриситета.
Гравитационное излучение, поглощаемое черной дырой Если центральной компонентой двойной системы является черная дыра, то часть излучения поглощается ею (в случае метрики Керра поглощение может быть отрицательным благодаря суперрадиации). Для расчета поглощения достаточно вычислить тетрадную проекцию %) тензора Вейля в окрестности горизонта событий. Представим -фо в виде разложения по спиновым сферическим гармоникам (так как а ю-СІ для интересующих нас частот)
^o = S .Яй»« (г) 2Ylm (Є, ф) е-*«*, (24)
Imes
получим для радиальной функции ^Rtma уравнение (7.86), которое решается с помощью функции Грина в длинноволновом приближении (7.134). В асимптотической области вблизи горизонта г*->—с» найдем
iRlnaсо (-1)/Ц(2я)~3/2[(/ + 2)! (/-2)!]1/2(Г+ + °'+2 r(' + 1 + 2'Q) X
a wmtО V 't^ lv /J (2/+1)! Г(— 1+2J-Q)
OO
X оStm &Г2е~ш* J emt~m^{t)) {гр (0Г(/+1) dt. (26)
Для оценки ограничимся случаем кругового движения rp=d, Фр=й)ф^. Из (26) видно, что при возрастании числа I растет степень малого отношения (г+—r~)/d, поэтому основной вклад будет давать минимальное значение I = 2. Подставляя (26) в (24) и далее в формулу (7.144), для мощности поглощения гравитационного излучения черной дырой получим
