Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Tt
ТИ Фо по определению (в существенной области углов 0 — —
это соответствует обычным 0 и ф компонентам относительно локально невращающейся системы отсчета). Итак, полагая
фв.ф=-L(O)0,г ±Ф0>2)
(59)
в интересующих нас асимптотических областях, найдем
^ (rp)_,S' (-2.) VKp^l R^irpUlS ^upW (f)
фЄ.Ф
'=1, Imls;'
ІЄШ(1 — O(D0)
2rrp І ш 13/2
v^ ig/2 Apt1 (1 — аш0)е(ш)
і=і N«'
rpA(2|fe|)
1/2
_iZ(0, ф)е?ш<'-'>, (60>
(61)
где (o = m<j)o, штрих означает производную по аргументу, все величины С индексом P берутся B точке Г = Гр и индексы I, т опущены. Значение коэффициента прохождения ті определяется при построении іR через \Х, с точностью до фазы имеем
It1I =VrSMr+— |т|,
(62> -§ 11. ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
151'
где т — коэффициент прохождения для \Х (в высокочастотном приближении равный (32)).
Подставляя выражения (61)-(65) в формулы (7.147), (7.149), находим интенсивности излучения 0- и ф-компонент линейной поляризации на бесконечности и горизонте событий
X
SS
;=1 т=1
-1H ~ -
Itp ~4~
2 4q\
3/2r2p(rp + ЗМ)2 1 + Ip
4
З + ip
^1(O)
Щ(0)
(63)
Как и в случае скалярных волн частица теряет вдвое большую энергию, чем воспринимает удаленный наблюдатель, так как по-прежнему выполняется равенство (50). Отметим также, что в интенсивность 0-компоненты дают вклад нечетные q=l—\т\ (восновном ?'=1), а в интенсивность ф-компоненты поляризации — четные q (в основном q = 0).
Характерные особенности спектра и углового распределения — те же, что и для скалярного случая.
Переходя от суммирования по т к интегрированию по р, оставляя в (63) основные члены <7 = 0, 1,
/е,ф = /е,ф:
оо H
Зе2(гр — м)у2
I OO
Ii
Itp
4
(Гр + ЗМ)
яр
4
1 +ip
з +ip
dp
dp
.(64)
Интенсивность электромагнитного ГСИ, как видно из этих формул, также пропорциональна у2- Степень поляризации излучения в рассматриваемом приближении не зависит от у и равна (после численного интегрирования)
П =
/Є + /Ф
~ 0,76.
(65)
Для потерь углового момента, как и в скалярном случае, выполняется соотношение (45).
Гравитационное излучение
Функции источников ±гГ в формуле (Зі) получаются в результате применения проекционных операторов ±2т„„ (6.15), (6.18) к тензору энергии-импульса '152
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
Tllv=Р-%-6 <г ¦-rJ 6 (6 - т)6 (ф •
(66>
В приближении высоких частот для фурье-преобразований этих функций будем иметь
±21 Imas
(Г)-
-4Д2/Д Д2
)Vf
|ху(гр+ Ш) Гр(Гр-М)
2іЖр( 1 — atop) m
+ (I-OD0)2 а е2-
¦а?
8(r-rp)l±A(6)
е=-
а,ав +
(67>
Решение радиального уравнения (3) строится стандартным способом с помощью функций Грина. Далее для вычисления потока гравитационного излучения при г-*-оо нужно найти асимптотическое выражение для скаляра 1]?, вещественная и мнимая части: которого при г-э-оо определяют амплитуды двух независимых состояний (линейной) поляризации + и X (7.154). Как и в случае* электромагнитных волн на горизонте событий, мы воспользуемся аналогичным разбиением для і]з0. В интересующих нас асимптотических областях получаем следующие выражения для тетрадных проекций тензора Вейля, отвечающих двум состояниям поляризации:
Ja>(r—t)
^ V Qii;
оо A*—2
1=2
S
т\е
S2
1+. X
-2Z(6, ф).
¦2
г ==2 lm|<i
да
1/2
,Z (Є.ф)^^'+^),
(68>
(69>
і Vn |ху(1 — дш0)2м(/-р-|- ЗЛ1) rp(rp-M) Icol 3Z2
S 0+-х =
VKsR'(rP)sS' (-f j
(70>
причем индексы in и up в (68), (69) обозначают соответствующие типы радиальных функций.
В силу симметрии (антисимметрии) спиновых сфероидальных гармоник относительно отражений (см. (Д.21)) величины (68) и (69), описывающие поляризацию X при 0 = я/2, обращаются в нуль
(так как четности ,SJJn и sS]m различны и при 0=я/2 обра- -§ 11. ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
153'
-щается в нуль либо первая, либо вторая из этих величин). Таким образом, гравитационное ГСИ в плоскости 0=я/2 линейно поляризовано, при этом +-компонента имеет максимум (рис. 8, а).
a f
Рис. 8. Угловое распределение ГСИ различных поляризаций вблизи плоскости движения частицы (а); спектральное распределение ГСИ скалярного (s=0), электромагнитного (s=l) и гравитационного (s =
= 2) (б)
Входящие в формулы (68) — (69) радиальные функции находятся с помощью соотношения (7.125), в которое в качестве X следует подставить полученное выше решение в ВКБ приближении, это дает
'-2*ІП(Г)І= ^TaV |ХІП(Г)І' (71)
l^wi=Wixipwi' (72)
UtfupMI = \-2^(r)\ = IXepOOI. (73)
причем коэффициент прохождения X2 связан с х соотношением
|т2| =(2Мг+Г> JAM. (74)
CO3
Подставляя эти величины в (68) — (69) и далее в формулы (7.144), (7.155), воспользовавшись асимптотическими представлениями (Д.28) для спиновых сфероидальных функций, получим /=/х + /+, причем так же, как и в случаях скалярных и электромагнитных волн, мощности гравитационного излучения, погло- '154
