Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
141'
альиого уравнения можно с достаточной точностью построить методом ВКБ. Однако прямое решение уравнения (7.86) методом ВКБ затруднительно из-за того, что потенциал SU при S=^O -— комплекснозначная функция. Целесообразно поэтому воспользоваться преобразованными радиальными уравнениями (7.123) с вещественным потенциалом (7.124) для радиальных функций sX (г). Нет необходимости строить соответствующее (7.123) неоднородное уравнение, так как с помощью формул перехода (7.125) можно вернуться от SX (г) к функциям sR{r), через которые выражается функция Грина неоднородного уравнения. Чтобы построить эффективный потенциал SU (7.124), входящий в уравнение для новых радиальных функций, необходимо вычислить величины as (г) и ?s(r). Для наших целей достаточно рассмотреть значения s= — 1, —2. Функции as{r) и bs{r) строятся на основе соотношений между SR (г) и -sR(r) вида (7.48), (7.49), (7.54), (7.55), и далее as{r) и ?s(r) находятся по формулам (7.120). Выберем sR нормированными в соответствии с (7.66), (7.67) при Ys=I, 6s= 1. Тогда в упомянутых соотношениях численные коэффициенты изменятся, и мы будем иметь s/? = ^111'"?1
,R= -AL1^1R; 2R = A-2&0-2R; (2)
где A-I и А—2 далее отождествляются с коэффициентами в (7.116). Значения Л_і и Л_2 для мод in и up находятся путем применения формул (7.42, 54) к асимптотикам соответствующих мод. Сравнивая соотношения'между < SR и _SR с формулами (7.116), которые служат определением функций as{r) и bs{r), и выражая вторые производные от sR с помощью соответствующих уравнений через sR и dsRjdr, находим
Aa_i = —ІЇСА&-1 = 2ІЖ, (3)
т
Д2а_2 = Ж'2 + (-2A. + 2)+ 20o)5Y —-+ 1)TC + SfC'Д'] +
I^L (Д'2 + 43Т2) + 2i +-3)3?" — За»А' + — — ') Л- А
2= 2і [4(0—(Д'ЗГ + 2 (_2& + 2) ТС) A~l + SfC (A'2 45Г2) А"2]. (4) Постоянные Ks (7.119) при этом равны
x_i = [_і?і2 + 4а(о (т—асо)]1/2, Jt_2 = {_2^2 (-2^ + 2)2 + 144(02 [а2 (т—аю)2 + M2] +
+ 40_2^2аю (т—аю) + 48_2Ьасо (m + а(о)}1/2. (5) '142
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
Применяя теперь соотношения (4) и (5) к асимптотикам функций sRin и sRup при г-*-оо, получим значения коэффициентов As:
ЛІНі = (21соI) 1, ^lLp1 = 2|со
(6)
А-2= (2со)~2, AnJ2= (2а?xZk I, \т\ » 1.
В приближении высших мультиполей (0 = ш(00; собственные
значения углового оператора определяются формулой (Д.29) Дополнения, или с учетом того, что ш=гашо
Д=т2(1—ао)0)2+ (2*7+1) \т\(1—aW)v% (7)
где q = l—|т|. В таком приближении вовсе не зависит от s, и далее мы индекс s опускаем.
Вычисляя величины as(r) и ?s(r) при s = — 1, —2 согласно (7.120) и подставляя их в формулу (7.124) для потенциала SU, можно убедиться в том, что основные члены в рассматриваемом приближении (~т2 и |яг|) не зависят от s и полностью содержатся в первом слагаемом с s=0,
JU ~V=- Ж'-ЬЬ (8)
(г2+а2)2
В асимптотических областях г*-*-±оо потенциал становится постоянным
V(Oco)-;2'^00' (9)
\—k2, г —> — OO,
поэтому решения радиального уравнения для Д=Х
d%x -FX = O; X в Xln <цр> (10)
dr*2
одинаковы при S = 0, —1, —2 и асимптотически совпадают с решениями скалярного уравнения (4.66), которые мы выберем нормированными условиями
Х'П(г-) со j (2М)-|/Ч«-|"г +°еШ)> (11)
2|fe|~1/2 xe~ikr', г'-+—оо,
((2[to|)—1/2 еш, ґ-+оо,
Xup (r') go і / і а* \ (12)
1 ' і 2|fe|—1/2 є (М (4-в^--г*-*-OO-
Построим теперь решение уравнения (16) в приближении ВКБ. Прежде всего необходимо найти точки поворота для уравнения (16), т. е. решения уравнения F(r)=0. В качестве опорной -§ 11. ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ 143'
точки выберем радиус гр круговой геодезической ультрарелятивистской частицы (3.17), близкий к радиусу круговой фотонной орбиты (3.16). В этой точке
Jf2 (гр) = Арт* (1-аш0)* A^lll^ (13)
где Ар=А{гр), и лидирующие члены (~т2) в (14) взаимно уничтожаются. В результате находим
Ур' (г2р + а*)* 4уа 1
при этом отброшенные члены в sU имеют более низкий порядок малости. В окрестности точки гр мнимая часть исходного потенциала sU также мала, поскольку при г=гт (3.16) мнимые слагаемые
= AfJELVe EA ж \ A J
= _ AL (^mTv T а) А (Г2 _3Mrv т 2аУЩ) (15)
обращаются в нуль в силу уравнения для гт (3.15) и
гр-гт= 1/6 (rT-'M)Y-2. (16)
Решая ypaBHefflfe dV/dr = О, с помощью разложения по степеням 1/y, находим положение максимума потенциала
Го = г р
Г1 — ¦ -A-I (17)
Мгр(г2р +а») 12Ya J
Таким образом, радиусы орбит ультрарелятивистских частиц лежат правее положения максимума эффективного радиального потенциала на малую относительную величину ~1/y2 (рис. 7|).
Рис. 7. Эффективный потенциал в радиальном уравнении в окрестности вершины барьера; г0 — положение максимума, гр — радиус круговой орбиты ультрарелятивистской частицы, Гі и г2 — точки поворота
го rP г?
Путем разложения величин по 1/y отыскивается и положение корней потенциала (8), т. е. точек поворота для радиальных функций '144
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
'1,2 = Г.
где
[ I=F-!^ (і [ 2у /Шгр \
2 Уз
