Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
Сила, действующая на черную дыру
Если вектор Пойнтинга внешнего электромагнитного поля отличен от нуля и не направлен по оси симметрии черной дыры, то поглощение черной дырой импульса поля должно быть асимметричным. В силу глобального сохранения импульса на черную дыру при этом будет действовать некоторая сила, квадратично зависящая от напряженности поля. Для расчета эффекта можно воспользоваться приемом Пресса [152]. Представим себе, что электромагнитное поле создается токами, текущими по сферической оболочке радиуса Го^>г+. Сила, с которой электромагнитное поле действует на оболочку, будет равна и противоположна по направлению силе, действующей на черную дыру. С другой стороны, действующая на оболочку сила определяется картиной скалярного и векторного потенциалов лишь вблизи нее, а эта картина-та же, что и для черной дыры с зарядом, создающим эквивалентную разность потенциалов между горизонтом и бесконечностью.
Следуя этим рассуждениям, указанный пондемоторный эффект удается рассчитать точно. Представим себе, что стационарное электромагнитное поле, описываемое скалярами Ньюмена—Пен-роуза (31), создается некоторым распределением электрического /V и магнитного /м" токов, текущих по сферической поверхности радиуса ro^>r+, так что вне этой поверхности поле отсутствует (это, разумеется, возможно лишь при /м"=ФО). Соответствующее распределение комплексного тока /"=/л"+t/V найдем, подставляя: в уравнения Максвелла (5.10) комплексный бивектор
SrHv = 2 (GVHtnnV]'+ фгКЛ] + ЩціКЇ) + 6 (го—г)> (32>
где величины Фо, Фі и Ф2 задаются формулами (31). Дифференцируя (32), находим
где индекс 1 обозначает радиальную компоненту в координатах Бойера—Линдквиста. Плотность действующей на оболочку силы вычисляется как произведение полусуммы внутреннего и внешнего^ полей (т. е. в нашем случае половины внутреннего поля) на соответствующие токи:
/"= 1/2п^"ц1б (г—Го),
(33)-
9* = 1/2 (^jl + ЙЯ) = Re
(34)
или после подстановки (33)
f =IpnRe
(35) § 9. ОДНОРОДНОЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕ
125
Выразив комплексный бивектор через скаляры Ньюмена—Пенроуза, найдем
^=^!г {1 Фг 12 Г ~ "")+Re [ф* (2ф*т* ~Т ФоШ'й) ] +
|ФО12^-1Ф212^). (36)
+•Н
Введем «декартову» тетраду, ассоциируемую с локально статической системой отсчета
?(*)n dx» = [Е (2 —2Мг)Г1/2[(2—2Mr)dt + 2Mra sin® в гіф],
в(*)и dx» = VT, [(sin6 dr/j/Д + cos 6 гіб) cos ф—
—VA/(S—2Mr) sin 6 sin ф гіф],
еш dx» = У"Ё [(sin 6 dr/Y"A + cos 6 гіб) sin ф +
+ У АДЕ — 2Mr) sin 6 cos ф гіф],
eU)lldx» = V2 (cos6rir/KA—sin 6гіб). (37)
Ориентация осей x, у, z не зависит от положения точки на поверхности сферы, находящейся в асимптотически плоской области Го^-г+, и совпадает с ориентацией декартовой системы координат покоящегося на бесконечности наблюдателя, с осью z вдоль оси симметрии черной дыры. Проектируя плотность силы (36) на пространственные векторы тетрады и интегрируя по объему, получим-пространственные (декартовы) компоненты силы, действующей на-оболочку
gl = lim § f^e» ri(u<6> л гіш(ф) = lim ф G1- sin 0 гіб гіф, (38)
г.-мо^ г„->=° го
І = X, у, z,
где AaW = VrSdef гі«(ф) = Кл7Е5Іпбгіф. Подставляя в (36) асимптотические разложения для скаляров Ньюмена—Пенроуза, найдем, что два первых члена в Gt расходятся при г0->-оо как г02 и Го, третий член не зависит от г0, четвертый убывает как г о-1, все остальные убывают быстрее и в рассматриваемой задаче не существенны:
G = Ga'(б, Ф)гіі + 0(2,(Є, ф)r0 + G(3)(б, ф) + — G(4) (б, ф) + о(4-).
rO \ ro )
(39)
Первый и второй члены описывают силы, деформирующие обо- :126
III. СТАЦИОНАРНЫЕ ВНЕШНИЕ ПОЛЯ ВОКРУГ ЧЕРНЫХ ДЫР
лочку; соответствующие вклады исчезают в результате интегрирования по углам
(j) G(1) sin Є dd dq> = 0; ^ G(2) sin 0 db dy = 0.
При вычислении действующей на черную дыру силы существенным является третий член в (39). В результате громоздких преобразований получаем в линейном приближении по а
Gf + iGf = — е'ф [cos2 0 Re (iF'zR+) — і (1 + 2cos2 0) Re , 8я
где R+^F+e^^dzF-e'®, причем Gf23'= 0, что после интегрирования приводит к результату
gx +ig у ^2 IsiaM (FZ*F+—FzF-*). (40)
Как видно из этих формул, сила, действующая на оболочку, пропорциональна моменту вращения черной дыры и квадратична по напряженностям внешнего поля. Аналогичным способом можно вычислить и «обычную» силу, действующую на (слабо) заряженную черную дыру во внешнем однородном электромагнитном поле. Соответствующая плотность силы получается в результате свертывания комплексного бивектора
SPqv = «2 + IP) Pa (m^m'W + /tV1), (41)
•отвечающего кулонову полю заряда Q + iP с плотностью токов, текущих по оболочке, что приводит вместо (35) к выражению
/?= 1/П Re (FiQ &1') (42)
(отсутствие коэффициента 1/2 обусловлено тем, что кулоново поле не имеет разрыва при r=ro). Подставляя сюда разложение (32) .для находим
/S = -^P1 Re[p2 [Фх (43)
Это выражение нужно подставить в (38) и выполнить интегрирование по углам. Вычисления полностью аналогичны приведенным выше; при этом оказывается, что в пределе Го-»-оо интегралы конечны и сводятся к ожидаемому результату
