Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
__ю , g Яр/4 р / !+'M2
оо dWZ 2дУЗгрМ (Ttt-M.) у у, т _\ 4 J
скал~ dt ~ п^Лгр+ЗМ)* ZLmcr 2«ф
/=1 т=1
(44)
где Hq(O) — значения полиномов Эрмита в нуле (Д.32). Соответствующая величина скорости потери углового момента связана с (44) соотношением
d<w? і
-/«, (45)
dt (O0
поскольку для отдельных мультиполей d§s= —dS0, (о = ти>0.
ш
Если аппроксимировать гамма-функцию в (44) первым членом разложения по формуле Стирлинга, то получим результат, найденный в [94] (однако использование формулы Стирлинга снижает точность, так как аргумент гамма-функции не является большим: в существенной области изменения т и q pool).
Как видно из формулы (44), при ра*4/я спектр спадает экспоненциально, значение р=А/п соответствует \m\=mCr, q=0 (члены q>l дают вклад 0,1% от основного члена #=0). Таким обра- '148
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
зом, мультипольное разложение скалярного ГСИ включает гармоники l=\m\, m<mcrGc>Y2, граничная частота в спектре равна
, , 2 КГ (гп + 3M)Y2 wCr = mCr I t0O I = ---• (46)
Характерной особенностью является обращение интенсивности излучения в нуль при гр~+М (что возможно в случае экстремальной метрики Керра а~+М).
Учитывая квазинепрерывность спектра при больших т, перейдем от суммирования по т к интегрированию по параметру р
'скал
Г = __g2Y2 (ГР-М) у ^
'скал 4яЗ/2 ЧсЧ г2(гр+ш) Zj 2"q\
?=0
X
j dp(p—2q — 1 )6-^/4^^1^-^ J2, (47)
1+2?
яли с учетом лишь основного члена q = 0 (Яо(0) = 1)
со
/«> — _5_ fl2v2 .(Гр — М) f /__1\__Яр/4
кал 4^2 Я°У г2(гр+М) Jip '
l + ip
"dp. (48)
Из этих формул видно, что интенсивность ГСИ содержит множитель Y2^l' ПРИ этом зависимость гр от y слабая (при у-*-00 rp-+rт, (3.16)). Заметим, что интенсивность СИ, возникающего при движении релятивистских частиц в плоском пространстве-времени по окружности, пропорциональна у4- Причина этого различия в том, что граничная частота СИ в y раз больше величины (46), а интенсивность пропорциональна шсг2 (это, в свою очередь объясняется различием длин формирования высокочастотного импульса в режимах СИ и ГСИ, подробнее см. § 14).
Вычисление интенсивности скалярного излучения, поглощаемого черной дырой, выполняется с помощью формулы (4.22) (для потерн углового момента сохраняет силу соотношение (45,)). При этом, различие в численных множителях в (40) для г*->±оо компенсируется при дифференцировании по г и мы получаем простой результат
TH = (tflQ-^)toQ (49)
скал I (ш0 —- (O^)(O0) скал' v '
где знаковая функция указывает на принципиальную возможность суперрадиации. Однако с помощью явного выражения для угловой скорости частицы (3.18) нетрудно показать, что знаковая функция в (49) положительна как для прямого, так и обратного вращений независимо от у- Это означает, что в режиме ГСИ всег- -§ 11. ГЕОДЕЗИЧЕСКОЕ СИНХРОТРОННОЕ ИЗЛУЧЕНИЕ
149'
да имеет место поглощение излучения черной дырой, причем поглощается ровно половина энергии, теряемой частицей, поскольку
/<н> = /°°. (50)
¦Физически это объясняется тем, что радиус круговой орбиты ультрарелятивистской частицы отличается от радиуса круговой фотонной орбиты (за которой фотоны захватываются дырой) на величину порядка у2, в то время как основная высокочастотная часть излучения испускается в конус с углом раствора ~ 1/y вокруг касательной к траектории. Ясно, что с точностью до малых поправок ~ 1/y половина скалярных фотонов будет захватываться черной дырой, вторая половина — уходить на бесконечность. Электромагнитное излучение
Радиальные функции ±ii?in(uр) получаются из _iX==Xin<up) по формулам (7.125), причем в существенной области значений I m I —-у2 второй член в соотношении (7.125) можно опустить. С точностью до несущественных фазовых множителей будем иметь
l-.*in(r)l = T^ffp-|Xin(r)l' (51)
'-'*UP(r)l= 2^ + а'У?2 |XUP(r)l' (52)
Ii*" С) I = -- І-,*»(Г)| = ^(г2Ц2)и2 !XupOOI . (53)
Используя запаздывающую функцию Грина уравнения (7.86)
Gft (г, Ґ) = їв (со) Д* (Ґ) (SR"P (г) sRin (г')'е (Ґ -г) +
+ sRin(r)s Rap (Ґ) Q (г-г')), (54)
строим решение неоднородных радиальных уравнений с источниками, которые получаются действием проекционных операторов ±it„ (§ 6) на 4-вектор электромагнитного тока
Jfi= и0 (1, O^ 0, со) б (г—Гр) б --2-|б(ф-со00. (55)
Для вычисления потоков энергии и углового момента через бесконечно удаленную поверхность и поверхность горизонта событий необходимо найти R при r-voo (см. (7.149)) и iR при Г-+Г+ (см. (7,.147)).
Учитывая нормировочные условия для sR'm{up) (7.66), (7.67) и явный вид операторов ±1т" (6.86), (6.87), найдем следующие выражения для асимптбтйк решения радиального уравнения: '150
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
ICJetor /'п
S
Г—*о0
Я (г)СО-
іє(ш)
ч
<21 fei >
где fs = (2А)('+5)/2Кя
— е I .Ж
т
1/2 д
¦ %s&-se-ikr*ff>,
(56> (57>
l(_L + sor + (l+s)A=^
г г Д
-(I-O(O0)
m (1 -O(O0) + S (de ¦—у ] J sSZ (О
е=-
(58>
С помощью соотношений (7.148) можно провести в асимптотической области ґ—>-оо разбиение по состояниям линейной поляризации 0, ф, для этого достаточно выделить вещественную и мнимую часть Ф2. Описание поляризации вблизи горизонта событий связано с выбором наблюдателя, мы примем в качестве амплитуд, независимых состояний поляризации вещественную и мнимую час-
