Частицы и поля в окрестности черных дыр - Гальцов Д.В.
Скачать (прямая ссылка):
§ 10. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ К ГРАВИТАЦИОННОМУ
ИЗЛУЧЕНИЮ ПРИ КВАЗИЭЛЛИПТИЧЕСКОМ ДВИЖЕНИИ
Гравитационное излучение системы двух гравитирующих материальных точек массами ц, M (считаем совершающих эллиптическое движение, было рассчитано Петерсом и Мэтьюсом § 10. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ K ГРАВИТАЦИОННОМУ ИЗЛУЧЕНИЮ 133
[160] в квадрупольном приближении. В спектре излучения имеются гармоники кеплеровой частоты ш«= (M/d3)'h, полная интенсивность быстро растет с ростом эксцентриситета, при этом максимум в спектре смещается в область высоких гармоник. Основной вклад в излучение дает участок траектории вблизи перицентра, когда ускорение максимально, однако величина є не может быть слишком близка к единице, так как в этом случае частица попадает в область сильного поля и следует учитывать релятивистские поправки как в уравнениях движения, так и при расчете гравитационного излучения. Учитывая быстрый прогресс в технике гравитационно-волновых антенн [161, 163], представляется целесообразным вычислить эти поправки. В работе [164] они были найдены для случая когда можно рассматривать движение легкой частицы на фоне геометрии Керра. Оказывается, что уже в квадрупольном приближении в спектре излучения имеется тонкая структура: каждая спектральная линия a = nwM расщепляется на три линии, две из которых сдвинуты относительно основной на частоту прецессии полуосей эллипса. Релятивистские поправки дают еще четыре более слабых линии с интенсивностью порядка (Mfd) по отношению к основным линиям.
Пост-ньютоновские поправки в переменных действие — угол Для анализа спектрального распределения гравитационного излучения частицы, совершающей квазиэллиптическое движение в поле Керра, удобно воспользоваться переменными действие — угол. Прежде всего заметим, что при движении по орбитам, близким к ньютоновским, линейная скорость V, угловая скорость соф= ^dxpjdt, угловой момент и параметр
Г = 1-(?М)2, (1)
где E — полная энергия частицы, имеют относительный порядок
T M 2
van Г, (o„rc/oz>, —сліг,
г
(о„Мсли3, и V, —— со v. (2)
L \ir
Можно показать, что первые релятивистские поправки пропорциональны квадрату скорости частицы и не зависят от момента аМ черной дыры. Поэтому для отыскания первых поправок достаточно ограничиться геометрией Шварцшильда (поправки на поглощение дырой будут рассмотрены отдельно).
С требуемой точностью решение уравнения Гамильтона — Якоби, описывающее движение в плоскости 8=я/2, может быть представлено в виде
S = —Et + Ly+Sr(r), (3)
где функция Sr (г) удовлетворяет уравнению '134
IV. ИЗЛУЧЕНИЕ ЧАСТИЦ. ДВИЖУЩИХСЯ ПО ГЕОДЕЗИЧЕСКИМ
dSr(r) , /Г /, 2М\~1/2-,/--,-77-Г-
—TTi-=i^jT- П — — Г (Г Гmin) (rrnax Г)>
— • г і ; » V ' min) V max
где rm;n = d(l—є), rmax=d(l+e) — точки поворота,
(4)
эксцентриситет,
в=Ч1+Г)(1 + 2Г--^)1/2 (5)
d = 1-Г) (6)
Г
большая полуось эллипса. Введем переменные действия
Ap —
max
Zr=I-J 1^-^ = ^1-1-(^-6^2)172 (7)
min
и угловые переменные
wr = I """ ] = ± I arccos -—-
\ dlr J L=Const
M
~т
d
V(r-rmin)(rmax-r)-n , (8)
1 = qH----ш [Wr ± arccos (— ( 1—Г
ф V а/ф )/r=const ^ (L2—бц.зм2)1/2 L VeV
L2 (1 + Г) — 6ц2М2 \ \ H2M (г — М) ]/
В новых переменных уравнения движения будут иметь вид
Zr=О, /Ф = 0,
дЕ(1г, /ф) . (/г, /ф)"
- -f да =- -, (9)
OJr Olф
откуда
Шг = ODr^+ const, l0„=(O„f + COnst (10)
и соответствующие частоты равны
Vio--^)-
Всякая однозначная функция F координат частицы является периодической функцией угловых переменных Wr, Wv с периодом 2л; по каждой из них и может быть разложена в ряд Фурье § 10. РЕЛЯТИВИСТСКИЕ ПОПРАВКИ K ГРАВИТАЦИОННОМУ ИЗЛУЧЕНИЮ 135
I I Л^-'WVV (12)
Лг=-0» Пф=-0О
где лг, пф — целые числа. Каждый из членов этой суммы есть периодическая функция времени, изменяющаяся с частотой
05Vq1 = nT^r + ЛфЮф. (13)
Поскольку эти частоты, вообще говоря, не находятся в кратном отношении, сумма в целом не является строго периодической функцией, а траектория не будет замкнутой, т. е. движение является условно-периодическим.
С требуемой точностью решения уравнений движения можно записать в параметрическом виде
rp = d( 1—ecosg),
( M \ 1 —- cos I — е
ф„ = ± 1 --arccos
\ ^ d{і — e«) )
, м б
1 —-— е cos g
d
0),/ = 6-8 ( 1-3-у) sin!, (И)
что соответствует траектории типа розетки Зоммерфельда — эллипса, полуоси которого вращаются с частотой
0 ЗМ . f M ,, гч
Q= (о„—щ —-1/ —. (15)
ф d( 1-е2) Уд?
Тонкая структура спектра излучения
Для расчета спектральной интенсивности гравитационного излучения, уходящего на бесконечность, достаточно найти асимптотический вид тетрадной проекции тензора Вейля (§7). В силу малости величины аа можно в качестве угловых функций взять спиновые сферические гармоники (Д.16). Учитывая периодический характер зависимости величин, описывающих движение, от угловых переменных Wr и до„, представим if>4 в виде разложения
OO I OO
^4=P-4I E E E -2у;т(0, Ф)яйг«-^,+*»-,. (16)
1=2 m=—l Ty=-OO ^=—00
