Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
1
V
или, в матричной форме, ВВ+, = 1. Поскольку матрица В1 квадратная, отсюда
следует, что модуль ее детерминанта" равен~Ч, что существует обратная
матрица В-1 игВ"*=В+. Поэтому также и В+ В = 1, что для матричных
элементов означает
Представления групп
97
Вернувшись к характерам группы, получим
^xna) = f6Pr (4-36)
а Р
т. е. соотношение ортогональности для столбцов таблицы характеров.
§ 15. ПОСТРОЕНИЕ ТАБЛИЦЫ ХАРАКТЕРОВ
Мы находили элементы таблицы характеров группы D3 (табл. 4.2), суммируя
диагональные элементы построенных ранее матриц представления. Это не
самый простой способ построения таблицы характеров. Но таблицы характеров
для всех групп, которые могут понадобиться, уже давно вычислены (они
приведены в приложении 1). Тем не менее было бы интересно увидеть, как из
априорных соображений можно построить таблицу характеров для большинства
обычных конечных групп. Это выполняется удивительно просто. Уже найденных
нами свойств характеров неприводимых представлений во многих случаях
достаточно, чтобы однозначно определить характеры. Выпишем эти свойства.
1. Число неприводимых представлений = числу классов.
2. Размерность sa неприводимых представлений должна удовлетворять
равенству которое во многих
а
случаях дает для sa единственное решение. Далее, поскольку характер для
единичного элемента Е равен размерности представления, числа в первом
столбце таблицы характеров - это просто целые числа sa.
3. Для каждой группы существует одномерное тождественное представление,
для которого T(G") = 1 и, следовательно, %(Ga) = l. Этим определяется
одна из строк таблицы; обычно это первая строка.
4. Строки взаимно ортогональны с весами ср и нормированы к g, т. е.
2 сргТ'/Т' = это формула (4.25).
р
В частности, если |3 - тождественное представление, то для всех
представлений сс, пе совпадающих с тождест-
98
Глава 4
венным,
о.
Р
5. Столбцы таблицы взаимно ортогональны и нормированы к g/cp:
^%ра)%(да), = {-8р,,- эт формула (4.36).
а Р
В частности, если в качестве класса ёд выбран единичный элемент Е, для
всех остальных столбцов имеем
а
Таким путем можно построить таблицу характеров для некоторых простейших
групп. Все, что при этом следует знать о группе,- это ее порядок g, число
классов и число элементов в каждом классе. Для более сложных групп такой
информации оказывается уже недостаточно. В этом случае для вывода
дополнительных соотношений между характерами требуется обратиться к
групповой таблице умножения (т. 2, приложение 3.3) или же, если группа
содержит нормальную подгруппу, ее представления могут быть выведены из
представлений нормальной подгруппы (т. 2, гл. 20, § 3). Подчеркнем,
однако, что в большинстве физических приложений теории групп необходимо
лишь просто взглянуть на таблицу характеров группы.
§ 16. ОРТОГОНАЛЬНОСТЬ БАЗИСНЫХ ФУНКЦИЙ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
В этом и последующих параграфах мы будем в основном рассматривать
свойства базисных векторов пространства, в котором задано неприводимое
представление. Эти базисные векторы можно рассматривать абстрактно (как,
например, в § 2), обозначая их через е)"\ где г = 1, 2, . . ,sa, или, в
более конкретном случае, они могут быть функциями a|^a) (г) в некотором
векторном пространстве функций (§ 3, п. В). Поскольку в
квантовохимических приложениях мы в основном будем иметь дело с
функциями, для обозначения базисных векторов представления Т(а) в этом и
последующих параграфах преимущестгенно
Представления групп
99
используется обозначение ф)0", а не е\а). Аргумент г функций мы опускаем
для краткости.
В § 4 было показано, как можно построить инвариантное функциональное
пространство. В качестве базиса такого пространства удобно выбрать набор
ортонорми-рованных функций. Предположим теперь, что мы имеем инвариантное
функциональное пространство, которое является еще и неприводимым, так что
представление, индуцированное в нем некоторыми групповыми операциями,
является неприводимым представлением. В этом случае мы вправе
воспользоваться свойствами ортогональности неприводимых представлений
(4.23), чтобы установить ортогональность базисных функций, принадлежащих
двум неэквивалентным неприводимым представлениям.
Пусть функция ф)а) преобразуется по ?-й строке неприводимого
представления Т(а>, другими словами,
Т(6а)Ф1.") = Х^?>(6а)фГ, (4.37)
и пусть функция ф/р> преобразуется по /-й строке неприводимого
представления Т<р>. Далее предположим, что при некотором определении
скалярного произведения, применимом ко всем рассматриваемым функциям,
операторы Т (Ga) унитарны, т. е. для всякого элемента Ga группы
<ФГ. <') = (Т (GJ Ф)"\ Т (GJ ф)Р>) =
= 22T\r (Ga) т% (GJ (ф}">, ф<?>).
I m
Если еще предположить, что базисные векторы каждого представления выбраны
ортонормированными, то мы можем воспользоваться соотношением
ортогональности
(4.23). Так, усредняя по всем групповым элементам, имеем
(фГ ф - IX2=
aim
=^б"б'/Е(ф(")^'"))- (4'38)
" I
Это значит, что две любые функции, преобразующиеся по унитарным
