Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
объединить в одно равенство
считая, что в нем 8ар=0, когда неприводимые представления Т<а> и рР*
неэквивалентны, и 6"р = 1, когда Т<а) и Рр) - одно и то же представление.
Случай, когда Ра> и Рр) эквивалентны, но не совпадают, не охватывается
данным равенством, но он не представляет для нас интереса.
Содержание обеих лемм Шура при выборе оператора А в форме (4.18) можно
свести к одному равенству
g SB sa
где X - совершенно произвольная прямоугольная матрица, но множитель Я
зависит от выбора X. Мы восполь-
С
~AT<P>(Ga).
А = Я8аР1,
(4.19)
Представления eppnn
88
зуемся свободой выбора матрицы X и положим ее элементы раВНЫМИ Xbm -
ftkpfimq' ДРУГИМИ СЛОВЯМИ, МЫ выбираем матрицу X, все элементы которой -
нули, кроме одного элемента, расположенного на пересечении р-й строки с
ц-м столбцом, который принимается равным единице. При таком выборе в
формуле (4.20) исчезнут два знака суммирования и останется выражение
V. Т{$ (GJ Т$ (G-1) = Пг,^;г (4.21)
а-1
Величина % имеет смьтол, только если ос-р и t=J; в этом случае,
просуммировав по I обе части равепства (4.21), получим
У у T\V (Ge) Tf (G-1) = % У 1 -
f = 1 я=! 1= 1
т. e.
Cl - 1
и, следовательно,
\ = gbp"ls" ,
ибо образом тождествеипой операдип Е является единичная матрица.
Подставляя в формулу (4.21) это выражение для Я, получаем
V Т\? (G") T'ft (Ga!) = gKMrJ**' ^-22>
а- \
Если матричное" представление Т'1'1 унитарно, то возможно дальнейшее
упрощение. Так как
Т(р) (G^,)T(P) (Ge) = TW (Е) = 1, мы имеем "
T(f!) (Ga1) = (Tp! (G"))-1,
а поэтому если матрица Т унитарна, то T%4G?)~T'$(Gny, и при подстановке в
равенство (4.22) в итоге получим
'У Т\? (Ga) Т\" (Ga)* =" gKfitArJsa • (4.23)
й - \
84
Глава 4
Данное соотношение ортогональности является чрезвычайно мощным. Заметим,
что индексы матричных элементов, стоящих в левой части, выбраны
совершенно произвольно, а суммирование производится только по элементам
группы. Соотношение (4.23) показывает, что получаемая сумма обращается в
нуль, если аир - неэквивалентные неприводимые представления. Даже если
представления аир совпадают, сумма остается нулевой, пока в левую часть
входят различные матричные элементы,. т. е. если 1ф]' или рфд.
Единственную ситуацию, в которой сумма отлична от нуля при произвольных i
и р, можно изобразить так:'
У, \T\;) (Ga)\^g!sa.
1
Содержащуюся в'^соотнотпении ортогональности операцию суммирования по
всем групповым элементам часто называют "усреднением по группе". В более
строгом смысле для усреднения по группе требуется разделить получаемую
сумму на общее число у элементов группы. Термип "соотношение
ортогональности" для формулы
(4.23) озпачает, что в некотором векторном пространстве некое
скалярное произведение обращается в нуль. Использование этого термина в
данном случае оправдывается, если рассматривать набор матричных элементов
Tft (Оа) для фиксированных a, i и р как обозначенные индексом а
компоненты вектора в ^-мерном пространстве. Скалярное произведение двух
векторов определяется в этом пространстве обычным образом Гформула (3.7)!
как сумма по компонентам. Тогда формула (4.23) констатирует
ортогональность таких векторов с разными наборами индексов а, г и р.
Важно понять, что соотношение ортогональности выполняется только для
неприводимых представлений. Из этого, как мы вскоре увидим,
вытекает'простой'алгебраи-ческий критерий приводимости представления.
''"Прежде чем продолжить наши рассуждения, отметим два момента,
вытекающие из "полученных результатов. Во-первых, покажем, что
неприводимые представления абелевых групп'1 одномерны. Пусть Т'7-' (Ga) -
неприводимое представление' абелевой группы '3. Так как по
Представления групп
85
определению элементы абелевой группы коммутируют, для любых Ga и Gb из &
имеем
1(00 (GJ Т(00 (оь) = Т(оо (Gft) T(oo(Ga)<
Отсюда по первой лемме Шура следует, что Т(со (Ga) отличается от
единичного оператора постоянным множителем, т. е. Т(гг) (Ge)=^a)l. Таким
образом, представление Т(со (Ga) для всех Ga является диагональным и
поэтому должно быть либо приводимым, либо одномерным. Первое
предположение противоречит исходным посылкам; следовательно, неприводимые
представления абелевых групп одномерны.
' В качестве второго примера докажем ортогональность неприводимых
представлений группы D3. В § 3, п. А мы уже определили два из них:
одномерное представление Т(а) и двумерное Т(3>. Кроме того, в любой
группе существует тождественное" представление Т(1). Эти три
представления даны в табл. 4.1. Все они являются неприводимыми (задача
4.7) и могут использоваться для иллюстрации ортогональности. Размерпости
представлений, очевидно, равны =1, ,53 = 1 и .9Я=2, а размерность группы
д=6. Применяя формулу (4.23) к данному случаю, получаем
в'
У [г'р' (Gj]2 = 6/2 = 3 при любых i и р,~
а- 1
'6"
S Т?р (Ga)T(2)(GJ = 0 при любых i и р,
а- 1
i]T">(Ga)T<2>(GJ = 0,
а -1
^'6
2 гт(2,(ед=в/1=б и т. д.
а=1
А. Доказательство первой леммы Шура
Пусть г - собственный вектор оператора А в пространстве L с собственным
