Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Во-первых, это означает, что если неприводимое представление Т(7) не
содержится в разложении произведения Т<а)(r)Т<р\ то матричный элемент
оператора S\a) равен нулю. Комбинации a, р и у, при которых матричные
элементы равны нулю, находят по формуле (4.45) с использованием известных
таблиц характеров. Во-вторых, отсюда следует, что все матричные элементы
с фиксированными а, р, А, и варьируемыми ?, /, к на деле определяются
значительно меньшим числом констант. Заметим, например, что, согласно
формуле (4.38), скалярное произведение (ф^7), не зависит от к; кроме
того, оно не зависит от
i и /.
Поскольку коэффициенты Клебша - Гордана известны из теории групп,
выражение (4.60) содержит для каж-
114
Глава 4
дого члена в сумме по индексу t только одну константу. В частности, для
"легко приводимых" групп имеется лишь одна константа. Такие константы
называют "приведенными матричными элементами" и обозначают символом
"p(Y> I;SH II ф<">, = (ФЯ", ^ *), (4.61)
где индексы ?, /, к в обозначении оператора и функций опущены, поскольку
константа от них не зависит. В этих обозначениях равенство (4.60)
превращается в соотношение
<ф?\ S)a4f)= ijk)<q>w ||S(")||9(W>ft (4.62)
называемое теоремой Вигнера - Эккарта и показывающее, что г, / и к
полностью определяются коэффициентами Клебша - Гордана.
С физической точки зрения диагональные матричные элементы некоего
оператора - это средние значения соответствующих наблюдаемых величин, а
недиагональные матричные элементы равны вероятностям перехода из одного
состояния в другое (гл. 5, § 1). Поэтому значение полученных в данном
параграфе результатов чрезвычайно велико, ибо в сложных физических
системах оператор S и функции ф могут сами по себе быть весьма
громоздкими, но уже на основании одной только симметрии из соотношения
(4.62) мы можем заключить, какие именно матричные элементы обратятся в
нуль, и предсказать, как соотносятся между собой другие матричные
элементы.
Если S - инвариантный оператор, то представление а является тождественным
и коэффициенты С в формуле (4.46) тривиальны, а именно Я=р, /=&, индекс t
не нужен и C(a|5y, ijk)=§py8jk. При этом равенство (4.62) переходит в
соотношение
(ф'Л Бф^) = <ф(Р> IISII ф(Р>> 6gv8/k, (4.63)
что означает просто такой вид инвариантного оператора, когда все
матричные элементы, соответствующие переходу пт одного неприводимого
представления к другому, равны нулю, а блоки, соответствующие одному
представлению, диагональны, причем диагональные матричные элементы равны
между собой. Другими словами, внутри одного представления оператор с
точностью до постоянного мно-
Представления групп
115
жителя равен единичному, а между двумя представлениями обращается в нуль.
Фактически это утверждение есть просто лемма Шура, сформулированная для
данного специального случая.
Для иллюстрации понятия неприводимого набора операторов рассмотрим
операторы dldx, д!ду и dldz в векторном пространстве непрерывных функций
ф(г) (гл. 3, §8, п. Г). В данном случае функцию ф(г) = ф(х, у, z) проще
рассматривать как функцию координат вектора г. По формуле (3.38) вращения
R преобразуют функцию ф в
ф'(ж, у, z) = Т (R) ф (х, у, г) = ф(ж, у, z), (4.64)
где х, у, z - координаты вектора r=R-1r. Соответствующие
трансформированные операторы, очевидно, равны д/дх, д/ду, dldz, ибо
4гЩ)ф(:г, у, z) = -4- ф(ж, у, z), дх дх
тогда как, определив ф(я, у, z) = (didx)у(х, у, z), получим т (К)^Ф ^)
= т(к)ф(^, У, 2) = ф(т:, ytz) = ~ ср(х, у, z)"
так что (dldx) Т (R)=T (R)(d/<9x) и, следовательно, dldx= =Т (R)(d/dx)
T_1(R). Оператор dldx можно выразить черев исходные операторы по обычному
цепному правилу для частных производных
_д_ _ Vi dq' д
dq- q.^V'2HW'
откуда следует, что три оператора образуют набор, инвариантный
относительно вращений. Коэффициенты'этого преобразования просто связаны с
матрицей преобразования базисных векторов ед, поскольку из выражения^
Reg - 2' Rq'q^q'
Ч'
следует равенство
у' = ед- "r = ед< • Rr = 2 yeg< • Reg = 2 qRg'g, я я
так что dq'ldq-Rq,q и, следовательно,
116
Глава 4
откуда видно, что три данных оператора преобразуются совершенно
аналогично базисным векторам ех, еу и е2.
В группе всевозможных вращений Яз данный набор операторов, естественно,
неприводим, но если мы будем рассматривать только группу Da, то, как было
показано в § 11, для набора векторов е? набор операторов уже не является
неприводимым и разобьется на оператор dldz, преобразующийся по Т2), и
неприводимый набор из двух -операторов д/дх и д/ду, преобразующихся по
Т<3) (в обозначениях табл. 4.2).
В качестве еще одного примера неприводимого набора операторов рассмотрим
умножение на функцию (гл. 3, § 8, п. В). В частности, функции х ж у
образуют неприводимый набор, преобразующийся по представлению Т(3) группы
Dз, поскольку трансформированные операторы - это просто координаты х ж у,
даваемые формулой (3.39). То обстоятельство, что в эту формулу входят
комплексносопряженные величины, в данном случае несущественно, поскольку
