Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
4t(r4)^4t(r5)x2
= -гг х'-х
У2 + х2-
1 " 3
ТЖ2-тг ) =
Таким образом, функция х2 не содержит составляющих, преобразующихся
аналогично первой строке представления Т(3).
И наконец, в этом примере мы можем построить пару функций,
преобразующихся по представлению Т(3). Для этого следует использовать
оператор (4.52). Мы уже нашли, что
РЙ>а*^Р is)x2 = j(x2 - y2), и теперь вычислим
Plfr2 = 4X T12 (Ra) Т (Ra) X2 =
тУ/! т (Ri) + ( |)'/2 т (R2)*2- ( |)V,T (R4) X2 +
+ (4V/2T(R5)Z2'
q l о ХУ'
¦ xy'j = xy.
Итак, две функции fi=xy и f2=1U(x2-y2) преобразуются по матричному
представлению Т13), полученному в § 8. Чтобы убедиться в этом, вычислим Т
(Ri)/i. В соответствии с табл. 4.1 результат должен быть равен Т (Ri)/i=
=-V2/1+(s/4)I/,!/2. На основании изложенного в гл. 3,
Представления групп
111
S 8, п. Е. получаем T(R,)/!- [-!*+(!)%
зу/2 1 4 Х~У
^=-~ху+
+т(!Г>,-"-У. + (1Г'.-
чем и доказывается сказанное выше.
С физической точки зрения одной из важных областей применения
проекционных операторов является нахождение так называемых симметрических
координат системы. Так, пример из гл. 1, § 2, п. В значительно упрощается
после введения симметризованных координат и Qi~Xi-х2. Соответствующей
группой является группа Stа (гл. 2, § 2, пример 10) с элементами Е и Р12
(перестановка). Ее характеры приведены в табл. 4.5. Ясно, что Qt
Таблица 4.5
Е Р12
j (1) 1 1
т (2) 1 - 1
преобразуется по Тш, a Q2 - по Т(2). Конечно, в такой простой задаче
применять теорию групп необязательно, но в более близком к реальности
примере колебаний молекулы аммиака NH3 (гл. 6, § 5), где имеется
двенадцать координат, учет симметрии ведет к весьма желательному
упрощению.
§ 20. НЕПРИВОДИМЫЕ НАБОРЫ ОПЕРАТОРОВ И ТЕОРЕМА ВИГНЕРА - ЭККАРТА
Важнейшее значение в данной главе имело понятие векторного пространства,
одновременно инвариантного и неприводимого по отношению к
преобразованиям, индуцированным группой В частности, мы увидели, что
такие пространства имеют строго определенные трансформационные свойства и
размерности и что они должны соответствовать какому-либо из неприводимых
представ-
112
Глава 4
лений группы '§¦ Отсюда мы логически пришли к мысли о классификации
функций по их трансформационным свойствам и о разложении произвольной
функции на составляющие, каждая из которых преобразуется по определенной
строке i определенного неприводимого представления Т<а). Теперь мы
перенесем такой подход и на классификацию операторов. Такая
классификация, совершенно аналогичная классификации функций, имеет прямой
физический смысл в квантовой механике, где операторы используются для
описания физических наблюдаемых величин. Изучение их трансформационных
свойств непосредственно приводит к пониманию правил отбора в процессах
перехода (гл. 5, §4; гл. 1, § 2, п. Д).
Рассмотрим преобразование Т (GJ в некотором пространстве L, где <Эа -
элемент группы Ъ. Пусть S - произвольный оператор в пространстве L\ тогда
трансформированный оператор S' по определению равен S' = =Т(GJST (GJ-1
(гл. 3, §4). Точно так же, как преобразованная функция q/=T(Ga)(p в общем
случае не совпадает с функцией ф, трансформированный оператор S', вообще
говоря, весьма сильно отличается от S. л1ы видели, однако, что функции
неприводимого инвариантного пространства преобразуются, не выходя за его
рамки ["друг в друга" в смысле формулы (4.37)1. Теперь мы определим
аналогичным образом "неприводимый набор операторов" S'."J с помощью
соотношения
S'">' see Т (GJ S<?> Т (GJ-1 = 2 Tf (GJ S f\ (4.56)
3
Набор операторов S<"\ которые удовлетворяют соотношению (4.56), называют
преобразующимся по неприводимому представлению Т<0°. Ясно, что число
операторов в таком наборе равно размерности sa представления Т<а>. В
частности, скалярный оператор, для которого S'=S, будет преобразовываться
по тождественному представлению. По причинам, совершенно аналогичным
рассмотренным в § 17, произведение двух операторов пре-
образуется по г'/-й строке прямого произведения представлений Т<"хе>.
Чтобы подойти к изучению матричных элементов операторов, рассмотрим
результат действия оператора S)a) на функцию ф)В), где, как явствует из
обозначений, и one-
Представления групп
113
ратор, и функция преобразуются по непреводимым представлениям одной и той
же группы. Снова по аналогии с, § 17 набор saSp функций фг7, определяемых
как
4>/y = sie)<pf. (4-57)
преобразуется по прямому произведению представлений Т<ахр), так как
Т (GJ ф,7 = Т (GJ Sia) Т (Ga)_1 Т (GJ cpf> =
= 53 ГЙР (GJ Tl) (Ga) S(A"> ф(" =
h, m
= 53rra(Ge)i|w (4.58)
h, m
По этой причине мы можем с учетом формулы (4.48) разложить каждую функцию
ф7 на неприводимые компоненты:
ф = 2 С* (сфу'г, Цк')?р*. (4.59)
Рассмотрим теперь матричные элементы (гл. 3, § 3) неприводимого оператора
S'-a) между базисными функциями ф)Р) и Используя формулу (4.38), имеем
(фь7), S(ia) ф'Р)) = (фь7), ф/у)==
= 53 c*(p$y't, ^Р1) =
у', t, h'
= 53 С* (сфТ?, Ик) (cpkv), ^7)'). (4.60) <
