Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
искусственным приемом, мы покажем, что оно всегда равно числу классов в
группе. Прием заключается в том, что мы строим представление весьма
специального вида,_ размерность которого равна числу элемептов грунны g.
Такое представление называется "регулярным" и обозначается через ця>.
Матрицы Т(Л>! (Ga) данного регулярного представления определяются
соотношением
GeGb = 2ni°(Ge)Gc. (4.30)
С
Нетрудно показать, что матрицы TlA;' (GJ в самом деле образуют
представление. Умножив обе части равенства
(4.30) на некоторый групповой элемент Gd, получим
GdGaGb = ^T^(Ga)G4Gc =
С
= 22^4GJ Gd)G,=
с е
= 2|2П?> (Gd)T^(Gjj G,.
94
Глш*"4
Но в ю же время G^G,,Gь=-dGa) G1$' (GaGjG,; сравнивая это равенство с
предыдущим, получаем Т'"> (GdG J = 1и<> (Gj lu<> (G J,
т. е. условие (4.1), которым определяется представление. Отметим, что,
поскольку произведение GaG6 тоже является элементом группы, сумма в
правой части равенства (4.3U) содержит только один член. Следовательно,
при данных а и Ь все матричные элементы (Ga) обращаются в пуль, кроме
соответствующего одному значению с, который равен 1. 1аквм образом, все
столбцы матрицы juo будут состоять из нулей и одной единицы и эта единица
будет располагаться на диагонали только тогда, когда Ga есть единичный
элемент Е. Следовательно, характеры регулярного представления будут равны
нулю для всех элементов, кроме единичного, для которого характер равен
размерности представления g, т. е.
^4GJ = 6, G.^E, 3tw<4E)*=e- (4.S1)
Посмотрим теперь, как приводится регулярное иредстав-ление
(GJ = %таИа> (GJ.
О.
С учетом формул (4.28) и (4.31) получаем
/"а - у^ЗCla; (GJ* XUC) (GJ = (Е) = (4.32)
6 а *
где. s'a - размерность неприводимого представления Т(". Таким образом,
неприводимое представление Т(а) встречается в разложении регулярного
представления столько раз, какова его размерность sa. Это означает, что
регулярное представление должно содержать все неприводимые представления.
Приравняв размерность g представления Тл> суммарной размерности его
составляющих, получим важный результат
8 - 2] = 2j 4- (4-33)
и U
Отметим, что соотношение (4.32) относится к регулярному представлению, а
формула (4.33) выражает общее свой-
ПреОспимления eppnn
95
ство группы, а именно то, что сумма квадратов размерностей всех возможных
неэквивалентных неприводимых представлений группы равна числу ее
элементов. Теперь на основании равенства (4.33) докажем, что число
неэквивалентных неприводимых представлений группы равно числу классов
этой группы.
Доказательство. В § 8 было показано, что матричные элементы Tffi (Ga)
можно рассматривать как компоненты некоего набора взаимно ортогональных
векторов в g'-мерном пространстве с базисом ев, где а-1, 2. . . ., g.
Общее число таких векторов определяется всеми возможными значениями
индексов г, / и а и равно сумме У)?*
а
по всем неэквивалентным неприводимым представлениям. Но как только что
было показано, эта сумма равняется g. Следовательно, число ортогональных
векторов равно размерности пространства и, стало быть, векторы должны
образовывать пространство. Поэтому любой вектор v в этом пространстве
можно представить в виде линейной комбинации векторов Т^': ""
v=Tc (а,.,-) т^,
01 ii
а его компоненты va в базисе са - в виде;
va^y,c\atJ)T\f (Оа). 7 s.34)
7у!
Выделим только те векторы v, которые имеют одинаковые "проекции" па все
"направления" ей; они соответствуют элементам одного и того же класса
группы G, т. е. Vc = Vai если Gr~GJGaGb Для ЛЮбоГОТЗ;, ИЗ $. ПОЭТОМУ
можно записать*
я
=7 Е vc= (где Gc = G^G.G,)
h -1
"ySEcfav) (Gh'GaGJ = [Формула (4.34)|¦ ь аи
= j ? ? Z '("//> tW(OJ) rlf (GJ T\f (GJ = (4-35)
* b' a.f kl
=> T ? Z c ("//) TkV\GJ 6,76klg!Srt =, fc учетом (4.22)17
-S-^-Sc(e")X(a,(Ge).
ч ( p
96
Глава 4
Эти векторы v образуют подпространство размерности п, где п - число
классов, и формула (4.35) показывает, что характеры, являющиеся набором
ортонормированных векторов в этом подпространстве (§ 10), также образуют
его базис. Отсюда вытекает, что должно быть ровно п таких характеров
%(а), т. е. число неэквивалентных не-гриводимых представлений равно п -
числу классов пруппы $, что и требовалось доказать.
§ 14. ВТОРОЕ СООТНОШЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ ГРУПП
Равенство числа классов числу неэквивалентных неприводимых представлений
озпачает, что таблица характеров, в которой столбцы соответствуют
классам, а строки - неприводимым представлениям, должна быть квадратной.
В силу соотношения ортогональности (4.25) любые две строки в такой
таблице ортогональны, и отсюда мы можем заключить, что и для двух
произвольных столбцов таблицы также существует соотношение
ортогональности. '
Чтобы вывести это соотношение, построим матрицу В размерности пХп,
элементы которой таковы:
В = Г^У/гу(а)
аР \ ?? / *р >
где п - число классов, а также число неэквивалентных неприводимых
представлений. Из соотношения ортогональности (4.25) следует, что при
любых а и (?
