Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
называются "легко приводимыми". Для таких групп (например, 918)
употребление индекса t необязательно.
Ранее мы предполагали, что функции ф и ф не идентичны; другими словами,
мы полагали, что либо либо если а-р, то ф^'тЦ^00. Случай совпадения
функций ф и ф требуется рассмотреть отдельно, поскольку набор s2a
произведений ф'°°ф)а> не является линейно-независимым. Действительно,
например, ф(?а)ф)а)- -ф<.а)ф<">=0. Отсюда следует, что и функции но-
вого базиса не будут линейно-независимыми: при некоторых значениях (у)t
все sy\ соответствующих базисных функций одновременно обратятся в нуль.
Другими словами, в нуль обратятся одновременно все базисные функции
некоторых представлений в сумме (4.44). При этом исчезнут представления,
антисимметричные относительно обеих функций; они должны исчезнуть, раз
эти функции одинаковы. (Вопрос о симметризации прямого произведения
представлений в общем виде рассматривается в т. 2, приложение 3.) В
приведенном выше примере произведения T(s)0T(3> выбор двух одинаковых
базисных наборов приведет к тому, что базисные функции представления Т(г)
обратятся в нуль.
Коэффициенты Клебша - Гордана обычно нормируют так, чтобы выполнялось
соотношение
2 | С (сфу?, ijk) |2 =; 1.
'Л
Этим обеспечивается нормировка функций Т*7'* при ус-
ловии, что функции-произведения сами образуют ортонор-
мированный набор. Последнее условие соблюдается всегда, если компоненты
произведения ф и ф зависят от раз-
ных координат, например относятся к частице 1 и части-
104
ГлсСва 4
це 2, поскольку тогда исходное скалярное произведение дается выражением
(Ф"'>(1)ф)Г>(2), фу*>(1), (2))=(Ф{"'>(1), Ф}")(1))х
X WP (2), ф/Р) (2)) = 6в,в6р.р6,.,6" (4.47)
как результат перемножения двух обычных скалярных произведений,
вычисляемых отдельно для каждой частицы. В этом случае линейной
зависимости быть не может. В силу общих свойств ортогональности
неприводимых представлений функции ортогональны в отношении у и к (§ 16),
а для общей ортогональности вводится дополнительный индекс t. Поэтому
набор является
ортонормированный, преобразование (4.46) - унитарным, а обратное
преобразование может быть записано в виде
{ф<">ф;.0>} = 2 С* (Otpyi, ijk) W' *, (4.48)
rth
где коэффициенты удовлетворяют соотношениям ортогональности (унитарности)
2 С* (a$yt, Цк) С {сфу't', Цk') = byy,btt,bkk,, ij
^]C*(aj4yi, ijk) С (aftyt, i' j'k) - Ьа,Ьц,.
yth
Если входящие в произведение функции не обеспечивают ортонормированности
(4.47), те же самые коэффициенты Клебша - Гордана могут использоваться в
формуле (4.46). Но хотя при этом функции останутся
ортогональными по отношению к у и к, они не будут больше нормированными и
в общем случае не будут ортогональны по отношению к прежним образом
определенному t. Модуль некоторых функций обратиться
в нуль, если, как было сказано выше, функции произведения не являются
линейно-независимыми. Но даже в этом случае справедливо обратное
соотношение (4.48).
§ 18. РАЗЛОЖЕНИЕ НЕПРИВОДИМОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРИ СВЕДЕНИИ К ПОДГРУППЕ
Пусть SK - подгруппа''грушш и пусть T(")(Ge)-
неприводимое представление группы %. Отсюда непосредственно вытекает, что
набор операторов T<a)(Ge)
Представления групп
105
для элементов Ga подгруппы Ж образует представление подгруппы Ж. Но хотя
Т(<Х) по предположению есть неприводимое представление группы %, в
качестве представления подгруппы Ж оно не обязательно останется
неприводимым. Поэтому в общем случае оно будет приводимым, и мы можем
написать
Т("'= |>айТ("\ (4.49)
а
где суммирование выполняется по всем неприводимым представлениям Т(а)
подгруппы Ж¦ Зная из таблиц характеры представлений Т(а> и Т<со, для
нахождения коэффициентов разложения снова воспользуемся формулой (4.28).
Заметим, что равенство (4.49) относится исключительно к представлениям
подгруппы Ж, и %(а) можно определить, рассматривая в таблице характеров
неприводимых представлений группы Ъ только те элементы, которые относятся
к подгруппе Ж.
В качестве примера рассмотрим сведение группы D% к подгруппе Сз (мы
встречались с этими группами в гл. 2, § 2, п. Д и Е). Построим вначале
таблицу характеров группы Сз. Все неприводимые представления,
обозначенные через т"*', одномерны, так как группа Сь абелева. Далее,
поскольку для всех элементов R3=E, характеры должны быть равны кубическим
корням из единицы, т. е. exp(2fcru/3), где к=0, 1 и 2; в результате имеем
табл. 4.3. Характеры неприводимых представлений Т(а) группы Dз можно
перенести из табл. 4.2, используя только те элементы Е, R* и Ra группы
П3, которые принадлежат подгруппе С3 (табл. 4.4). Сразу же получим,
Таблица 4.3
С, Е R. R.
1 1 1
т<2> 1 exp (2iti/3) exp (4ni/3)
t(3) 1 exp (4ni/3) exp (2ni/3)
106
Глава 4
Таблица 4.4
п. Е Ri
Т(1) 1 1 1
т (S) 1 1 1
Т О) 2 -1 -1
что для С а представление
T(i,sT(!l = Ta),
тогда как двумерное представление сводится в Т<3> = т,2),ф'т<".
§ 19. ПРОЕКЦИОННЫЕ ОПЕРАТОРЫ
В обычном трэхмеряэм пространстве мы хорошо знакомы с геометрическим
