Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 32

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 122 >> Следующая

неприводимым представлениям, взаимно ортогональны, если только они не
принадлежат одной
100
Глава 4
и той же строке (т. е. они не преобразуются в соответствии с одной и той
же строкой) одного и того же (или эквивалентного) неприводимого
представления. Значение этого важного результата заключается не столько
во взаимной ортогональности базисных функций одного и того же
неприводимого представления (множитель di}- при ф=ф), так как это в
принципе вопрос выбора функций, сколько в ортогональности базисных
функций, относящихся к разным строкам эквивалентных представлений или к
неэквивалентным представлениям (множитель 6а(3). Последний результат
совершенно не зависит от выбора базиса в каждом из представлений. Кроме
того, из равенства (4.38) следует, что скалярное произведение (<р)"\ ) не
зависит от г - в частности, функции ф;а) для данного а, удовлетворяющие
условию (4.37), имеют одинаковую норму.
Одним из особых следствий из соотношения (4.38) является то
обстоятельство, что если Т<а) - тождественное представление, то данное
скалярное произведение обращается в нуль для всех представлений Т<р),
кроме тождественного. Так, если под скалярным произведением, как обычно,
понимать интегрирование по координатам и положить ф^а, = 1 (постоянная
функция), мы получпм
§<pf>dV = 0, (4.39)
если только ТсР) не является тождественным представлением. Это означает,
что интегральная инвариантная характеристика функции, преобразующаяся по
неприводимому представлению, обращается в нуль, если только сама функция
не инвариантна. Поскольку любую функцию можно разложить на неприводимые
компоненты, это означает, что после интегрирования из всех компонент
останутся только инвариантные.
§ 17. ПРЯМОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ДВУХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Прямым произведением матрицы А размерности п'/п на матрицу В размерности
тХт называется матрица размерности тпХтп, обозначаемая через A0B, с
матричными элементами
(A0B )ij.ki - AftBj^ (4.40)
Представления групп
101
Каждая строка (и каждый столбец) матрицы прямого произведения
обозначается двойным индексом ij, причем первый индекс i относится к
строке матрицы А, а второй индекс / - к строке матрицы В. Подчеркнем, что
A0B- это не то же самое, что обычное произведение матриц.
Таким способом мы можем построить из двух представлений Т(а) и Т<Р) пх
прямое произведение Т<"'(2)Т<^>, обозначаемое через T<ctxP>i):
ПТ№ (GJ = T\f (GJ Tjf} (GJ. (4.41)
Легко показать, что прямое произведение действительно является
представлением, ибо
т,ахР) (GJ т"*хр> vgj],7i (ee) т" (GJ =
тп
= 2 Т% (GJ Tf (GJ (GJ T$t (GJ =
mn
= Vt? (GeGJ Tff (GaGJ = (GeGJ. (4.42) Характер прямого произведения
представлений равен X(axp> (GJ = S (e") = 2 TW (GJ (GJ -
= X,e,(GJx<p,(G"). (4-43)
Другими словами, для данного группового элемента характер прямого
произведения представлений Т(ахР> равен просто произведению характеров
составляющих его представлений Т(а) и Т<|3>. Если представления Т<а> и
у<р> неприводимы, то представление Т<*ХР), размерность которого равна
sasp, вообще говоря, не является неприводимым. Но, зная характер %(ах|3\
мы можем разложить его на неприводимые представления (§ 11). Так, если
Т<ахЭ> = ]?7П7Т<7\ (4.44)
v
то по формулам (4.43) и (4.28)
Щ = у (4.45)
р
11 Его называют также тензорным произведением представлений.- Прим.
перев.
102
Глава 4
В качестве упражнения рассмотрим произведение Т(3)(r)Т<3) представлений
группы Dt, характеры которых выписаны в табл. 4.2. По формуле (4.43)
характер четырехмерного представления прямого произведения Т<3)(r)Т(3)
равен
5c<3xb,=(4j lt 0)f
в три его компоненты соответствуют трем классам в табл. 4.2. Записывая
теперь
Х(зхз ) = 2ягах(а) а
и используя формулу (4.28), получаем >74 = 1(4 + 2 + 0) =,1,
,т2 - "ё" (4 + 2 + 0) =г 1,
тз = ^-(8-2 + 0) = 1,
так что
Т(3)(r)Т(3) = Т(1) (r) Т(21 (r) Т(3>.
На практике прямое произведение представлений органически связано с
рассмотрением произведения функций. Если набор из sa функций ф*"
преобразуется по представлению Т(<Х), а набор функций ф)р) - по
представлению Т(Р>, то набор из sasp произведений функция {фУх>ф(/)}
будет преобразовываться по прямому произведению представлений Т<"ХР).
Чтобы показать это, рассмотрим
Т(Оа){ф^>фН = 22.^">(Оа)7'^ (Ов){ф*"\ фИ =
гз
с учетом формулы (4.41).
Предположим, что прямое произведение представлений приводимо:
T<*xP>_2mvT(V>.
v
Тогда можно, изменив базис, выбрать линейные комбинации
Ч^ = 2С(аРуг, г/йНф^ФИ' (4-46)
is
Представления групп
103
которые преобразуются по неприводимому представлению T<v>. Индекс к
относится здесь к строкам представлений, а индекс t нужен, чтобы
различать функции с одинаковыми у ж к. Такие функции будут появляться,
если целое число тпу больше 1, т. е. если неприводимое представление Т(7)
появляется в разложении (4.44) несколько раз. Коэффициенты С(офу?, ijk)
обычно называются коэффициентами Клебша - Гордана для данной группы.
Группы, для которых при любых а и Р коэффициенты ту равны 0 или 1,
Предыдущая << 1 .. 26 27 28 29 30 31 < 32 > 33 34 35 36 37 38 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed