Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 28

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 122 >> Следующая

значением X, так что Ат -Хт. Если "теперь 'г 'преобразованием T(G^)
переводится в новый вектор,тя=Т(Оа)г, то гя также будет собственным
вектором оператора А с тем же собственным значением
-ч -ч
л-| оз|
4>-| Со|
•J^l coj
to I н* >Ы col
о ьк
^ o
"N
X, 4-
js| co|
I 4
tO| ijx| Ctf|
f "*rJ
98
Таблица 4.1
Прсё*т**ления tpynh
к, поскольку
Агв = AT (GJ г = Т (GJ Аг = Т (GJ Аг * КТ (GJ г = Агв.
Если Ge пробегает всю группу то набор векторов га должен порождать
инвариантное подпространство, так как
Т (Gb) га = Т (G") T(GJ г = Т (G6GJ г = гс,
где с определяется из соотношения GbGa~Gc групповой таблицы умножения. Но
так как пространство L но определению неприводимо, оно не может содержать
инвариантного подпространства. Таким образом, пространство векторов г"
обязано совпадать со всем пространством L. Следовательно, для любого
вектора R= =2 сага в L имеем
AR = А 2 СаТа = 2 саАта = 2 СаКга = М*.
а а а
но так как R - произвольный вектор пространства L, то А-А1. В матричной
форме оператор А просто будет равняться величине X, умноженной на
единичную .матрицу.
Б. Доказательство второй леммы Шура
Рассмотрим вначале случай Тогда А перево-
дит L% в подпространство ЬА некоторой размерности в пространстве Ьг.
Подпространство ЬА состоит из векторов Аг, где г - произвольный вектор в
Lt. Отсюда тотчас же следует, что пространство ЬА инвариантно
относительно преобразований группы %, поскольку
Тш (GJAr = ATt2) (GJ г = Ara,
и этот вектор принадлежит пространству LA, так как вектор ra =
[Tl2)(Ga)rJ принадлежит Ьг. Однако представление Т(1> по определению
неприводимо, а поэтому Lx не можег иметь инвариантного подпространства.
Таким образом, мы приходим к противоречию, если только LA не является ни
нульмерным пространством (sA-0), ни полным пространством L± (sA=s1).
Иными словами, мы доказали, что либо 1) Аг=0 для любых г в Lt, т. е. А=0,
88
Глшвй 4
либо 2) sA=sl=st. Последнее равенство вытекает из неравенства sA^sa и
условия S2^Sl-
Вторая из этих альтернатив исключается в силу условия, что Т(1) и Т12) -
неэквивалентные представления. Она означала бы, что L% имеют одинаковую
размерность; отсюда следовало бы существование оператора А-1, обратного
оператору А, и поэтому ^из допущения TU,(G0) А=АТ<2'(GJ следовало бы, что
TlJ>(GJ = = АТ(?) (GJ А-1, т. е. что представления Т(1) и Т(2)
эквивалентны. Остается заключить, что А=0.
В случае s^Si доказательство аналогично. В этом случае с необходимостью
sA<C.s2, а поэтому должны существовать векторы г в La, которые
переводятся преобразованием А в нуль, т. е. для которых Аг=0.
Подпространство этих векторов в L2 обозначим через LB\ его размерность
будет равна s2-sA. Тогда пространство Ьв обязано быть инвариантным, так
как если ra=Tl2) (Ga)r, то Ara=ATl2) (GJr=Tu) (GJAr=0, из чего видно, что
га тоже принадлежит пространству LB. Это противоречит условию
неприводимости представления Т(2), если только не выполняется равенство
LB=L2, другими словами, Аг=0 для всех векторов г в L%. Таким образом, мы
снова приходим к выводу, что А=0.
§ 9. ХАРАКТЕРЫ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Как говорилось в § 6, для всякого данного представления можно построить
бесконечное число эквивалентных матричных представлений путем изменения
базиса (т. е. преобразования подобия). Мы хотим найти некоторые вполне
определенные свойства представлений, которые не зависят от таких
преобразований. В принципе можно построить много инвариантов, поскольку
преобразование подобия не изменяет собственных значений матрицы. Но в
большинстве случаев достаточно одной-единствен-ной характеристики, и
наиболее подходящей для этой цели оказывается сумма всех собственных
значений, называемая "следом" матрицы и равная сумме ее диагональных
элементов в любом базисе. Такой след матричного представления Т (GJ
обозначается через %(Ga). Набор чисел %(Ga), где Ga пробегает все
элементы группы, называется "характером" представления Т а обозна-
Представления групп
89
чается через %. Имеем
Х(Ой)= У Ти{Оа). (4.24)
i = 1
Мы сразу же видим, что характер представления инвариантен по отношению к
преобразованию подобия, поскольку из равенства Т' (Ga) = AT (Ga) А-1
"следует равенство
%'(Ga) = У Т'а (GJ =УА;/Т,-к{Оа) А~%; =
i i / k
^У,Т/к(Оа) (A_1A),;/ =
tk
= ^7-"(Ga) = x(Ge). ,
Путем аналогичных рассуждений можно показать, что все элементы одного и
того же класса (гл. 2, § 6) должны иметь одинаковый характер, который мы
обозначим через %р. Действительно, предположим, что элементы Ga и Gb
принадлежат одному и тому же классу, т. е. связаны соотношением
Ga=GmGbG^. Тогда для любого представления Т
7. (Ga) = У Тп (Ga) =* У Ти {GmGbGjn ) -
I i
=*Угп (ОД Tik(Gb) rki(G-n')~
ijk
= VT/,(G0 Тkj {G~l Gm) =
/*
= >>,/(Gft) = x(G6).
§ 10. СООТНОШЕНИЕ ОРТОГОНАЛЬНОСТИ
ДЛЯ ХАРАКТЕРОВ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ
В случае неприводимых представлений для вывода соотношений между
характерами мы можем воспользоваться соотношением ортогональности (4.23).
Предыдущая << 1 .. 22 23 24 25 26 27 < 28 > 29 30 31 32 33 34 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed