Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Для проверки унитарности мы должны показать, что
T'(Ge)t~T'(Ga)-'. (4.15)
Прежде всего заметим, что
Tt(Gfl)S*T(Ga) = V (Qb) Г (Gb)J(Ga)~
/.
- Тт- (ObGa) T (GbGJ =s
О . ,
= 2Т+(СДТ (Ge) = s*, (4.16)
Q
где Gc=GbGa. Мы использовали то свойство группы, что если элемент Ge
фиксирован, а G6 пробегает всю группу, причем каждый ее элемент
встречается один и только один раз, то. и Gc пробегает все групповые
элементы, причем каждый элемент также появляется один и только один
80
Глава 4
раз (гл. 2, § 9). Теперь, умножив обе части равенства (4.16) справа на
T~l(Ga)S~l и слева на S-1, получим
S_1Tt (Ga) S = ST~J (GJ S-1,
(ST(Ga)S-i)i = (ST(GJS-1)-,
а это и есть требуемое условие унитарности (4.15). Мы воспользовались тем
обстоятельством, что оператор S эрмитов.
§ 7. НЕЭКВИВАЛЕНТНЫЕ НЕПРИВОДИМЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Два представления Т ж Т' называются "неэквивалентными", если не
существует такого оператора А, который удовлетворял бы соотношению (4.14)
для всех элементов Ga группы. Эквивалентные неприводимые представления
удобно рассматривать как одно представление. (Для матриц это означает,
что всегда можно выбрать такой базис, в котором соответствующие матрицы
идентичны.) С точки зрения разложения (4.12) приводимого представления на
его неприводимые компоненты это означает, что в таком разложении
некоторое неприводимое представление может появляться несколько раз.
Поэтому разложение на неприводимые представления можно записать в виде
V=2>aT'"\ (4.17)
а
где а пробегает неэквивалентные неприводимые представления, а целое число
та показывает, сколько раз данное неприводимое представление Т(а)
появляется в разложении. (Точка над знаком суммирования означает то же
самое, что и знаки сложения в формуле (4.13).] Например, в разложение
шестимерного представления рассмотренного в § 3, п. В, дважды входит
тождественное представление. Две независимые функции (х2+у2) и z2,
инвариантные в группе Da, являются по этой причине базисными функциями
одномерного тождественного представления Тш, ставящего в соответствие
каждому групповому элементу единицу. Можно также показать (задача 4.9),
что и двумерное представление Т,3) входит в разложение дважды, а поэтому
формула приведения представления будет записываться в виде
Т=2Tu,(j^2T(3'.
Представления групп
81
§ 8. СВОЙСТВА ОРТОГОНАЛЬНОСТИ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ
Из сказанного в § 5-7 можно сделать вывод, что задача исследования^
представлений группы сводится, к изучению неэквивалентных неприводимых
представлений, обладающих, как мы сейчас установим, важными свойствами
ортогональности. Эти свойства составляют^ ядро математической теории
представлений, позволяют нам легко оперировать с ними и лежат в основе
большинства физических проявлений симметрии. Свойства ортогональности
следуют из двух положений, носящих название лемм Шура. Они были выведены
Щуром в 1905 г. "Леммой" математики называют промежуточное заключение,
которое необходимо сделать при выводе теоремы или какого-либо положения.
Вначале мы сформулируем эти две леммы, затем рассмотрим их следствия, а в
конце параграфа докажем их.
Первая лемма Шура. Пусть Т (GJ - неприводимое нредставление группы Ч> в
пространстве L, и пусть А - фиксированный оператор в L. Тогда, если для
всех элементов Ga группы % выполняется равенство Т (Ge) А = =АТ (GJ, то
А=Л1, где 1 есть тождественный (или единичный) оператор. Другими словами,
всякий фиксированный оператор, коммутирующий с операторами Т (Ga)
неприводимого представления для любых Ga из группы %, является единичным
оператором с точностью до постоянного множителя.
Вторая лемма Шура. Пусть Tu,(Ga) и Tl2)(Ga) - два неприводимых
представления группы % в пространствах Ьх и Ьг размерностей s* и s2, и
пусть А - оператор, переводящий векторы из Ьг в L\. Тогда, если
представления Т(1) и Т(2) неэквивалентны и для всех элементов Ga группы Ъ
выполняется равенство TU) (Ga)A=ATl2) (Ga), то^А=0, т. е. А - нулевой
оператор.
Воспользуемся теперь леммами Шура для вывода соотношений ортогональности
матричных представлений. Рассмотрим два неприводимых представления Т(а)
(Ga) и
(Ga) группы Ъ, причем T(a)(Ga) определено в пространстве La, a T(P)(Ga) -
в Lq. Пусть X - некоторый оператор, преобразующий векторы пространства Lq
в векторы пространства Ьа. Мы можем теперь показать,
32
Глаша 4
что оператор А вида
А = 2 Т<а) (Gb) ХРР* (G ?)
Ь
(4.18)
как раз обладает свойствами оператора А в леммах Шура, ибо
Р"> (GJ А = ? Р"> (GJ Р"> (G") =
ь
= 1' Т<"> (G0G6) ХРР> (Gb1) TP (G-1) РР> (GJ =
ь
= 2 (GaGb) ХТ(r)> ((G0G6)~J) рР> (GJ = ь
- 2 Т(а) (Ос) ХТ<" (G-1) pw (Ge) =
Мы здесь использовали то свойство группы, что произведение GaGp=Gc двух
элементов, в котором элемент а фиксирован, а b пробегает всю группу,
также пробегает все групповые элементы (гл. 2, § 9). Рассмотрим два
случая:
1) Т<а> и РР) - одно и то же представление, откуда по лемме Шура А=Я1;
2) Р" и РР> неэквивалентны, и по лемме'j Шура А=0. Эти два случая можно
