Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
таким образом, что вначале идут векторы пространства затем векторы Ь2
и""т. д., то матрица примет "блок-диагональную" форму с нулями всюду,
кроме диагонали,"как показано ниже. Здесь символом Т(?' (G") обозначена
квадратная матрица, размерность которой совпадает"^'
размерностью~подпространства Lq, а нулями обозначены прямоугольные
матрицы из одних нулевых элементов:
'П(tm) 0 0 . . О
О 0 П
О О Т"' .. о
Представления групп
77
Каждое Т(?' (Ga) есть неприводимое матричное представление группы Если
задано произвольное матричное представление Т, то, чтобы перейти к
простой блок-диагональной форме матрицы, очевидно, необходимо аккуратно
осуществить переход к новому базису, отвечающему подпространствам Lq.
Приведение матриц может быть записано в виде
T(Ga) = T">(Ga)9T,2) (GJ9T<3>(GJ^---- (4.1.3)
аналогичном операторному равенству (4.12). Особая форма знака сложения
вновь напоминает нам, что мы имеем дело не с обычным сложепием матриц, а
со "сборкой" матрицы Т из квадратных матриц Т*17' (Ga), размещенных вдоль
диагонали.
Если задан произвольный вектор г, то мы можем построить инвариантное
пространство L, используя операции Т(Ga)r, как показано в § 4. Если
теперь привести это пространство к сумме неприводимых подпространств Lq,
то вектор г можно записать в виде г=У;гд, где rq при-
V
надлежит пространству Lq. R этом случае говорят, что вектор г разложен на
неприводимые компоненты rg.
§ 6. ЭКВИВАЛЕНТНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
Описанное в § 5 приведение позволяет в принципе свести любое
представление к составляющим его пепри-водимым представлениям. Поэтому в
дальнейшем мы в основном ограничимся исследованием свойств неприводимых
представлений, зная, что из них можно вывести свойства любого приводимого
представления. Даже в этом случае число возможных неприводимых
представлений остается бесконечным, как можно видеть из примера,
рассмотренного в § 3, п. А. Пространство, определеппое двумя векторами ех
и еу, было неприводимым и порождало двумерное неприводимое представление
группы 03. Однако, по-другому выбрав в том же пространстве базисные
векторы, мы получим иной набор матриц T(Ga). Можно надеяться, что
подобное тривиальное преобразование базиса не будет изменять некие
существенные свойства представлёния - и это действительно так. Мы
78
Глв$ш 4
введем понятие эквивалентности представлений, которое придаст строгую
форму нашему утверждению.
Обозначим через Т (Gfl) представление группы $ в пространстве L. Тогда,
если А есть отображение пространства L па пространство L' той же
размерности, то набор операторов
T'(Ga) = AT(Ga)A-\ (4.14)
действующих в пространстве V, также образует представление группы #. Это
легко показать; действительно, имеем
Т'(<3") Т' (G6) = AT (GJ A-1 AT (G,) А-1 =
= AT (Gfl) Т (Gb) А-1 =
= AT (GaGb) А-1 =
= T'(GaG&),
что является определением понятия представления [формула (4.10)!. Такие
два представления Т' и Т называют эквивалеитными. Совершенно необходимо,
чтобы для всех групповых элементов Ga примепялась одна и та же операция
отображения А. В частном случае пространства L и L' могут оказаться
совпадающими.
Если представление Т' эквивалентно представлению Т, а Т" эквивалентно Т',
то Т" эквивалентно Т, откуда вытекает понятие класса взаимно
эквивалентных представлений.
Преобразование базиса матричного представления дает эквивалентное
матричное представление. В частности, пусть задан набор операторов Т
(Ga), матрицы которых в базисе е, имеют вид Tji(Ga). Тогда, если взять
новый базис е;=Ае,, то матрицы операторов Т (Ga) в новом базисе будут
определяться матричным произведением A-lT(Ga)A, поскольку
Те} = ТАе, = ? (ТА),, е, ~ ? (ТА),, (А-1)*. =
; /к
= Х(А-1ТА)&в;.
k
*
Здесь порядок следования операторов А и А'1 обратен порядку в формуле
(4.14). Это объясняется тем, что формулой (4.14) определяется новый
оператор, а в данном
11реёвта*ления tpynn
79
случае тот же самый оператор Т (Ge) записан в новом бааисе.
Можно ожидать, что важнейшие свойства любых двух эквивалентных
представлений одинаковы, и мы увидим далее, что это действительно так.
Поэтому мы можем ограничиться рассмотрением из каждого класса
эквивалентных представлений лишь по одному представлению. В частности,
можно рассматривать только унитарные представления, поскольку
утверждение, известное под названием теоремы Машке, гласит, что для
конечных групп в любом классе эквивалентных представлений содержатся
унитарные представления. Эта теорема справедлива и для большинства
непрерывных групп, рассматриваемых в физике.
А. Доказательство теоремы Машке
Требуется доказать, что любое представление эквивалентно некоторому
унитарному представлению. Для данного представления Т (Ga) мы обязаны
найти оператор S, такой, чтобы эквивалентное представление Т'(Ga)=ST(Ga)
S-1 было унитарным. Мы покажем, что этому условию удовлетворяет оператор
S = {]? Т+ (G6) х
xT(Gb)}'/*, не пытаясь объяснить, что нас побудило сделать такой выбор.
