Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Эллиот Дж. -> "Симметрия в физике Том 1" -> 34

Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.

Эллиот Дж., Добер П. Симметрия в физике Том 1 — М.: Мир, 2001. — 364 c.
Скачать (прямая ссылка): simetriyavfiziket12001.djvu
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 122 >> Следующая

понятием проекции вектора на плоскость ху. проекция трвхмерного вектора
т(х, у, z) есть просто вектор (х, у, 0), лежащий в плоскости ху. Это
понятие проекции на некоторое подпространство можно распространить и на
случай пространств более высокой размерности, а также на функциональные
пространства.
Рассмотрим векторное пространство L, инвариантное по отношению к
преобразованиям Т(GJ, индуцированным элементами Ga группы В общем случае
пространство L не является неприводимым, и, следовательно, его можно
разложить на неприводимые подпространства по методу, изложенному в § 5 и
11. Пусть еp)f - набор базисных векторов в L, причем при фиксированных a
и t индекс i пробегает sa строк неприводимого представления Т(а), а
индекс t служит для случая, когда в L имеется более одного
подпространства, преобразующихся по одному и тому же представлению Т(а>
(или по эквивалентным представлениям). Тогда по определению
T(GaM">^2 TJt(Ga)ef'. i
Представления групп
107
Зададим подпространство Lal в L набором базисный векторов е(;а>1 с
фиксированными а и г. Определим
также La= У Lai.
г = 1
В принятых обозначениях мы можем теперь показать, что оператор
РГ)=7?Т")*((5">Т<С5'> (4-5°)
а
есть оператор, проектирующий из L в Lai. Для этого напишем
Т%>' (GJ Пр/ (GJ ef ^ 6eP6/ye}"'
а, k
с учетом формулы (4.23). Следовательно, Р)а> есть искомый проекционный
оператор, поскольку в результате его действия на произвольный вектор г= 2
С(Р> *>
P. t. f
в пространстве L получим
Р<"> г = (а, г, ?) е(га)г.
i
Это означает, что оператор Р)Р) обращает в нуль все компоненты вектора,
лежащие вне пространства Lai, и оставляет неизменными компоненты,
принадлежащие пространству Lat.
На практике могут возникать трудности при построении оператора Р1"\
задаваемого формулой (4.50), поскольку в нее входят диагональные
матричные элементы оператора Т(а) для всех групповых элементов Ga.
Гораздо проще построить оператор, проектирующий из L в большее
подпространство La, ибо вследствие равенства La='?iLai этот оператор
имеет вид
г
Р<а>г= X P^fXX ЛГ^)т^) =
i a i
= jI><a,*(Ga)T(Ga) (4.51)
а
и, следовательно, требуется лишь знание характеров группы х<а)-
(Пользуясь формулой (4.36), легко'показать,
108
Глава 4
ЧТО SP,e,=1. как и должно быть вследствие равенства
2 La=L.)
а
Иногда применяется обобщенный проекционный оператор (или оператор
переноса)
РГ = fi;n",*(Ga)T(Ga). (4.52)
а
Строго говоря, он не является проекционным оператором, но тем не менее
обладает свойством
(4.53)
т. е. вначале проектирует в подпространство La], а затем преобразует в
Lai. На этом основании можно показать, что для всякого г при
фиксированных а и ; набор векторов г<а)/=Р)"'г, где i=l, 2, . . ., sa,
является базисом неприводимого представления Та:
Т (Gb) г)"> ' = ^ Е ЛГ (е"> Т (°ь) Т (GJ г "
а
= 7ЕГ'Г (G7Gc)T(G,)r =
(здесь Gc = GbGa) = j ? ЛГ (G?) ? ТЫ (Ge) Т (Gc) г ^
к с
=ЕГ">(°*>Г<",/-
h
Нетрудно^убедиться, что построенные нами операторы подчиняются обычному
правилу умножения проекционных операторов:
P}e,Piw = ea3fi/4P)">f (4.54)
тогда как для обобщенных операторов выполняется соотношение
р,,ГР$"б"Эб//№ (4-55)
Представления групп
109
Рассмотрение общих свойств проекционных операторов мы завершаем двумя
предостережениями. Во-первых, неверно, что набор векторов Р)а) г для
данного г и фиксированного а образует базис представления Т("\- для этого
требуется обобщенный оператор Во-вторых, из того, что вектор г
нормирован, не следует, что нормирована и проекция Р)а> г; назначение
численного множителя sjg в формуле (4.50) другое - он обеспечивает
неизменность тех составляющих вектора г, которые не уничтожаются при
проектировании.
В качестве конкретного примера проектирования рассмотрим функцию
,ф1(г)=ха, использованную в § 4, и разложим ее на компоненты,
преобразующиеся по неприводимым представлениям группы Ds. Пользуясь
таблицей характеров для трех неприводимых представлений Тш, Т<2> и у<з)
(табл> 4.2) вместе с формулой (4.51) и имеющимися в § 4 выражениями для Т
(RaK'i, получаем
P"i>s* = 1 [1 + Т (Rj) + Т (R,) + Т (R3) + Т (R4) + Т (R6)] ж2 =
= -g- (ж* + у х2 + у2 + X2 + у,ж2 -f у у2) (х2 + у2),
ро** =1 [1 + т (Rx) + т (R2) -Т (R3) -Т (RJ - Т (R,)] X* =
= ? (x* + Yx2 + Ty2~x2~Tx*~Ty*) ==0,
P<3)a;2 =-i [2х2 - Т (R4) х2 - Т (R2) а:2] =
4 (2^2-|x2-4p2) = ±(х2-у2).
Таким образом, мы можем написать х2=1/2(х2-\-у2)-\-+1U{x2-у2), где первое
слагаемое преобразуется по тождественному представлению Тш, а второе - по
представлению Т<3).
Далее мы можем использовать проекционный оператор (4.50), чтобы
проектировать не просто на какую-то строку двумерного представления Т<3),
а на нужную нам строку. Для этого потребуются уже не характеры, а
матричные
110
Глава 4
элементы представления (табл. 4.1). Получаем
Р<3) т2 ________
1*1 Х - 6
z2 --I-т (RJ-4-Т (R2)z2-T(R3)z2
• -j т (R4) ^+yT(R5) ^2] =
~ z2-J у2 - X2 -f J- X2 + ~ у2) = °,
= -3
р(3) ~2 _______ *
Г2 Х ~ 6
*2-Т Т (RJ -4 т (R,) Ж2 + Т (R3) ж2-
Предыдущая << 1 .. 28 29 30 31 32 33 < 34 > 35 36 37 38 39 40 .. 122 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed