Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
матрица действительная.
§ 21. ПРЕДСТАВЛЕНИЯ ПРЯМОГО ПРОИЗВЕДЕНИЯ ГРУПП
Понятие прямого произведения групп ^ХЖ было введено в гл. 2, § 5, а в § 8
той же главы было показано, что классы в такой группе нумеруются парой
классов - одним из другим из Ж. Теперь, если заданы два неприводимых
матричных представления T<a)(Ga) группы g и U<i3)(Hb) группы Ж, легко
показать, что матрицы прямого произведения, определяемые как
Т<"ХР> (GaHb) =Т"ч (Ga) (r) U<P> (Н4), (4.65)
образуют пеприводимое представление группы 'бхЖ.
Доказательство того, что Т<"хР> является представлением, почти идентично
выводу формулы (4.42). Неприводимость представления Т("ХР> следует из его
характера, который, как и в формуле (4.43), оказывается равным
произведению характеров представлений Т(а> и U<P):
Х<"хМ (GeH4) = х'"> (GJ х<Р> (НД. (4.66)
Отсюда, суммируя по групповым элементам и используя для $ ж Ж формулу
(4.29), получаем
21 х(ахр> (GaHb) i2 = Sl х(а> (Ga)|2 s I хф) (H6) I2 = gh.
ab a b
Представления групп
117
Но поскольку gh есть порядок произведения группы ЪхЖ, из этого равенства
следует, что представление T<osx/5> неприводимо.
Далее можно показать, что представлениями прямых произведений Т<ахЗ>
исчерпываются все неприводимые представления группы %хЖ, если а и |3
пробегают все неприводимые представления $ и Ж. Это проще всего сделать,
суммируя квадраты размерностей и пользуясь формулой (4.33):
= 242"(5 = gh.
a, р a g
Таким образом, снова применяя к произведению групп ЪхЖ формулу (4.33), мы
убеждаемся, что Т<"ХР) исчерпывает все неэквивалентные неприводимые
представления группы ЪхЖ. Таблицу характеров групп прямого произведения
получим, просто нумеруя строки и столбцы парами индексов, относящихся к
отдельным группам & и Ж и перемножая соответствующие числа в таблицах
характеров каждой отдельной группы. Таблица 4.6
с* с R S, Е 1
т и) 1 1 Т<1> 1 1
т (2) 1 -1 Т (2) 1 -1
С2Д - ?2XS2 Е R 1 Rl=a
Т ахи 1 1 1 1
т (1X2) 1 -1 1 -1
Т (2X1) 1 1 -1 -1
Т (2X2) 1 -1 -1 1
В качестве примера возьмем группу C2xS2t уже рассматривавшуюся в гл. 2, §
5 и обычно обозначаемую символом C2h• Эта группа является абелевой, так
что каждый
118
Глава 4
элемент сам по себе образует класс. Характеры групп С, и S2 приведены в
табл. 4.6, а из них непосредственно выводится таблица характеров группы
С2Ь, где, например, T<ix2> есть представление, построенное из
представления Т(1) группы Сг и представления Т(21 группы S2.
В качестве другого примера рассмотрим группу Dsh = =D 3X^1, с которой мы
познакомились в гл. 2, § 2, пример 7. Исходя из характеров группы Da,
которые были приведены в табл. 4.2, и таблицы характеров группы Si,
изоморфной S2, вычисляются характеры группы Z)3h; они сведены в табл.
4.7.
Таблица 4.7
о г h #i(E) #a(R". R,) 'Ёз (Rj. R4. R.) ?з (ог" о.,
о5)
та> 1 1 1 1 1 1
т (2) 1 1 -1 1 1 -1
т (3) 2 -1 0 2 -1 0
Т<1>' 1 1 1 - 1 -1 -1
Т (2)' 1 1 -1 -1 -1 1
т (3)' 2 - 1 0 -2 1 0
ЛИТЕРАТУРА
Более строгое математическое изложение теории представлений групп можно
найти в книге
Boerner Н-, Representations of Groups, North-Holland, Amsterdam, 1963.
ЗАДАЧИ
4.1. Покажите, что матрицы Т (R,) размерности 3x3 из § 3, п. А имеют ту
же таблицу умножения, что и групповые элементы R,- (гл. 2, § 2, табл.
2.5.).
4.2. Постройте представление группы Di (см. задачу 2.3) при помощи матриц
3X3 с базисными векторами ех, еу и е2; ось симметрии четвертого порядка
совпадает с осью z.
4.3. Продолжая рассуждения § 3, п. В, постройте матрицы 6X6 для
представлений Т (R4) и Т (R6) и покажите, что произведение T(R!)T(R4)=T
(R6).
4.4. Исходя из функции i|)4=yz и группы Da, постройте инвариантное
подпространство, базисом которого служат шесть квадра-тичных'функций,
рассмотренных в § 4. Покажите, что представ-
Представления групп
119
ление D3, порождаемое этим подпространством, эквивалентно рассмотренному
в § 3, п. А представлению Т(3).
4.5. Найдите характер трехмерного представления группы D4, полученного в
задаче 4.2, и, используя таблицы характеров (приложение 1), покажите, что
оно сводится к двумерному и одномерному представлениям. Проверьте этот
результат, пользуясь непосредственно матрицами, найденными в задаче 4.2.
4.6. Покажите, что характеры неприводимых представлений циклической
группы порядка п равны %{т) (С?)=ехр (2яг тр/п), где т=0, 1, 2,..., (п-
1). Исходя из этого, постройте таблицу характеров группы вращений С4
относительно оси четвертого порядка, совпадающей с осью z.
4.7. Покажите, что любое изменение базиса делает матрицу Т (Rs)
представления Т(3) в табл. 4.1 (§ 8) недиагональной и поэтому
представление Т(3)неприводимо (§ 12).
4.8. Проверьте, удовлетворяют ли приведенные представления задачи 4.5
соотношениям ортогональности (4.23) и критерию неприводимости (4.29).
4.9. Исходя из матриц, найденных в задаче 4.3, вычислите характер
представления группы Da в шестимерном пространстве, рассмотренном в § 3,
п. В, и докажите правильность разложения этого представления на
