Симметрия в физике Том 1 - Эллиот Дж.
Скачать (прямая ссылка):
Положив в формуле (4.23) p-i и q-j и просуммировав левую и правую части
по i и /, получим
90
Глиша 4
так кто
ih("4GJx(P4Cv)* = ?SaP. (4.25а)
а- 1
Если объединить сопряженные элементы в классы %v, содержащие по с"
элементов, то данное соотношение можно записать в виде
= (4-256)
р~\
где суммирование проводится по п классам 9V группы В частном случае а=$
имеем соотношение
¦ п
У. 1У"' (G,,) 1* = у с"! № I* = д. (4.2R)
а~-=) п -1
Равенство (4.25) мы будем называть "соотношением ортогональности" для
характеров. Характеры у в формуле
(4.256) можно рассматривать как векторы с компонен-
тами (СрУ'^Хр в векторном пространстве размерности п, где п - число
классов в группе В этом пространстве характеры неприводимых представлений
образуют набор ортогональных векторов. Отсюда ясно, что число
неэквивалентных неприводимых представлений не может превышать числа
классов группы. В § 13 мы увидим, что эти два числа в действительности
равны.
* Для иллюстрации ортогональности характеров 'неприводимых представлений
можно воспользоваться примером из § 3. п. А. Характеры yj,"' для каждого
класса р и каждого неприводимого представления а удобно свести в таблицу
(табл. 4.2), которая теперь будет содержать
Предетлвлелия "pynn
91
меньше столбцов (по одному на каждый класс, а не на каждый элемент
группы). При использовании соотношения ортогональности для характеров
следует не забывать включать число ср групповых элементов в каждом
классе.
§ И. НМ1ВЕДЫШЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ХАРАКТЕРОВ ГРУНИ
В § 5 и 7 мы показали, как в принципе можно привести произвольное
представление i к его неприводимым составляющим. Просуммировав
диагональные элементы матрицы Т [формула (4.17)], мы сразу увидим, что
характер X представления связан с характерами неприводимых представлений
таким же соотношением. Если характер представления Т для элементов класса
й'р обозначить через Хр- то получим
х (4.27)
а
где числа та показывают, сколько раз в разложении представления Т
встречается каждое неэквивалентное неприводимое представление Т'"}.
Понятно, что возможность определить эти та для данного Т весьма
заманчива, и это действительно делается очень нросто, если только
известны характеры неприводимых представлений Хра)* Используя соотношение
ортогональности (4.256) и формулу (4.27), нолучаем
j срУ-Т'* %р " j ? т* X СДрэ>*зсГ =
Р ар
= (4.28)
Это выражение для скалярного произведения характера х на характер
неприводимого представления xip) аналогично формуле (3.6) для
"компоненты" jnр характера % в направлении "вектора" x(,i>- В качестве
иллюстрации рассмотрим трехмерное представление Т из § 3, п. А. Его
характер равен (3, 0, -1), где числа соответствуют Хр для трех классов
группы Dt и взяты в том же порядке, в котором эти классы расположены в
табл. 4.2. Записав
92
Глшвш 4
в обозначениях таблицы
Т = mja> 0 т3Т(2) 0 maT(3,, с учетом формулы (4.28) получим
т1 = 4" (3-И--з)=и,
ma = - (3-(-U-(*8) = 1,
та з= ~ (6 0 0) = 1.
Отсюда следует, что представление Т ириводытся к сумме представлении 1(2)
и Т'а). Ото почти тривиальный пример, поскольку такое разложение^
явствует из самого вида матриц. г1ем не менее он показывает, что
наш^метод неплохо застрахован от ошибок: величины та должны быть целыми
положительными числами или нулями.
Более содержательный пример дает шестимерное представление, рассмотренное
в примере § 3, н. В (задача 4.9).
? 12. КРИТЕРИЙ ШШРМВОДММОСТМ
По характеру представления сразу можно судить, неприводимое оно или нет.
Б § 11) было ноказано, что если представление х неприводимо, том
21 с,I = (4.29)
.Р
Можно также доказать, что если выполняется условие
(4.29), то представление х неприводимо; таким образом,
(4.29) - необходимое и достаточное условие. Для доказательства обратимся
к равенствам (4.25) и (4.27), которые можно объединить в соотношение
21 с г 1X, Г- = 2 С/Пате%<">у$>* = g 2
Р а $р а
Поэтому, если справедливо равенство (4.29), то 1,
а
а так как все та целые, отсюда следует, что все числа та равны нулю,
кроме одного из них, которое мы обозначим через niy,- оно равно единице:
my=1. Мы видим, что T=T(V', а последнее есть неприводимое представление.
Представления групп
93
В качестве примера можно показать, что двумерное представление Т(3)
группы Dа неприводимо, поскольку из табл. 4.2 следует
Xrl2-(^ + 2 + 0) = C = g.
р
§ 13. ЧИСЛО НЕЭКВИВАЛЕНТНЫХ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИИ,
РЕГУ ЛЯРНОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ
В § 10 было показано, что число неэквивалентных jae-ириводимых
представлений конечной группы Ч не может превышать числа классов в этой
группе. В примере группы Dt из табл. 4.2 видно, что имеется три
неэквивалентных неприводимых представления. Но в группе D" имеется только
три класса; это дает нам основание заключить, что Тш, V21 и Т'в) - все
возможные^ для группы Dt неэквивалентные неприводимые представления.
Вообще говоря, точное число неэквивалентных неприводимых представлений
группы хотелось бы определять заранее, и сейчас, пользуясь довольно
