Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
к северному полюсу. Пусть в момент ИСЗ находится в точке с координатами
х0, у0, z0 и имеет скорость V0 с компонентами хй, Уо, Zo-
1) Большая полуось а геоцентрической эллиптической орбиты вычисляется
по формуле
где г0 - (*о + У% + 2о)'/а - геоцентрическое расстояние ИСЗ,
fMT - так называемая геоцентрическая гравитационная постоянная (см. ч. I,
§ 4.06), a Vc - круговая скорость на расстоянии га от центра Земли (см.
ч. II; § 1.03).
а =
(3.4.01)
(3.4.02)
284 ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ [§ 4.01
2) Эксцентриситет е выражается по формулам
М(!гУ-1Г+тШ"^
_______*0*0 + УоУа + z0z0 /о ,
cos фд =-----у.-------, (3.4.04)
'0' о
где ф0 - угол между радиусом-вектором г0 и вектором скорости V0.
В частности, если Vo -L f0 (фо = 90°), то
ЧОЙ2-1!- (3-4-05)
Формулу (3.4.03) можно записать также в виде
е2=е2 + (1-е2)со52ф0, (3.4.06)
где е0 вычисляется по формуле (3.4.05) и представляет собой значение
эксцентриситета орбиты в том случае, если Го -L V0.
3) Истинная аномалия v в момент to находится по формуле
tg Оо = aJщ . (3.4.07)
где
р = а{\ - е2) = г0(-~-) sinV
Числитель и знаменатель в формуле (3.4.07) имеют знаки синуса и косинуса
и0 соответственно. Формулу (3.4.07) можно переписать в виде
tg v0- sin<PoC;^r2 , (3.4.08)
где угол фо определяется по формуле (3.4.04). При cos ф0 > 0
(фо < 90°) имеем 0<и0<180°, при cos ф0 < 0 (ф0 > 90°)
имеем 180° < v0 < 360°, причем v0 отсчитывается от направления на перигей
П орбиты до г0 в направлении движения ИСЗ. В частности, если фо = 90°, то
Vo = 0, т. е. радиус-вектор г0 совпадает в момент выхода на орбиту с
направлением на перигей.
4) Долгота восходящего узла орбиты Q и наклон i определяются по
формулам
a sin i sin й = ytfzQ - z0y0, "j a sin i cos fl = - (z0iQ - x0z0), >
(3.4.09)
a cos i = x0y0 - y0x0, J
где ____
а = V fMTp.
§ 4.02] ГЛ. 4. ОПРЕДЕЛЕНИЕ И УЛУЧШЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ ОРБИТ ИСЗ 285
5) Угловое расстояние со перигея от узла орбиты находится по формуле
(c) = ы0 - v0, (3.4.10)
где
j 2л cosec t /," j 11 \
uQ = arctg------тр-:----, (3.4.11)
° xa cos ?2 yQ sin Q ' '
причем числитель и знаменатель в этой формуле имеют знаки синуса и
косинуса и0 соответственно.
Фактическое положение ИСЗ в момент выхода на орбиту, а также величина и
направление скорости всегда отклоняются от расчетных. Поэтому обязательно
возникает задача об уточнении элементов орбиты ИСЗ по наблюдениям, для
решения которой применяют обычно метод дифференциального исправления
орбит.
§ 4.02. Определение предварительных элементов орбиты ИСЗ по наблюдениям
Для вычисления элементов невозмущенной орбиты ИСЗ вообще достаточно трех
наблюдений.
Пусть а*, б* (k =f 1, 0, 2) -наблюденные топоцентрические экваториальные
координаты спутника на моменты t\, t0, t2 соответственно. Пусть Хк, Yk,
Zk (k = 1, 0, 2) - известные геоцентрические экваториальные координаты
пунктов наблюдения и pft - неизвестные топоцентрические расстояния (от
пункта наблюдения до спутника) на моменты ti, U, t2 соответственно.
Предполагается, что промежутки между моментами наблюдений малы по
сравнению с периодом обращения спутника.
Вычисления можно выполнить по схеме, аналогичной той, которая указана в §
2.01, сохраняя те же обозначения.
Рассматриваются уравнения относительно топоцентрических расстояний,
ni^iPi - ^гРо "Ь п2^2Рг= - (ni-^i - Хо -f п2^г)> "J "ll^lPl - М-оРо +
"21^2Р2 = - ("1^1 - ^0 - Г (3.4.12)
я^р, - VqPq -f n2v2p2 = - (n,Z, - Z" -f n2Z2), )
где Kh, va - направляющие косинусы топоцентрических радиусов-векторов:
Я* = cos ак cos б*, = sin a* cos б*, v* = sin б*,
n, = n"xlt яа = п°х2> = "2 = ^--
Ъ = 1 + (i + 2t,t2), x2 = 1 + ^ (tJ + 2т,та),
г0 - геоцентрическое расстояние спутника в момент to.
(3.4.13)
286
Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ
[§ 4.02
(3.4.14)
Уравнения (3.4.12) . решаются методом последовательных приближений.
В первом приближении полагают xi = Х2 = 1. пъ<= п°к и находят из
уравнений (3.4.12) значения pi, р0, рг. После этого находят в первом,
приближении геоцентрические координаты %h, Ун, %к и геоцентрические
расстояния /¦*. (Л = 1, 0, 2) по формулам
- Pk^k + %к>
Ук = PfcHi + Ykt Zk = РьУк + Zk,
rk = ^xl + yl + zk'
Во втором приближении вычисляют xi. Ъ с полученным значением г0, затем
уточняют ri\, П2 и снова решают уравнения (3.4.12) относительно pi, р0,
рг.
В следующем приближении можно вычислить ri\, п% по точным формулам
где rii, г|о. т]2 - соответствующие отношения площадей эллиптических
секторов и треугольников, заключенных между геоцентрическими радиусами-
векторами Г\, г0, г2 (см. § 2 01) и т. д.
После того как найдены достаточно точные значения топо-центрических
расстояний, а также геоцентрических координат Хк, Ук, Zh (k = 1, 0, 2),
вычисляют элементы орбиты по двум геоцентрическим положениям (см. § 2.05)
Элементы предварительной орбиты спутника вычисляются, как правило, не
вполне точно из-за ошибок наблюдений и из-за больших отклонений истинного
движения спутника от невозмущенного эллиптического.
