Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
(2а - т\ - r2) sec Г1 \ ~Ги \г2\ = г2.
- б
(3.2.67)
причем знаки синуса и косинуса угла (Е\ -\-E2)j2 совпадают со знаками
числителя и знаменателя правой части последней формулы соответственно. По
формулам (3.2.67) находим эксцентриситет е и угол Е\-{-Е2, а затем с
помощью (3.2.66) находим эксцентрические аномалии Е\, Е2.
По формулам (3.2.40) и (3.2.41) вычисляем далее средние аномалии Мь AJj
на моменты и ^ соответственно, а также
S 2.09]
ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
267
среднее угловое движение п. Вторая из формул (3.2.41) служит при этом для
контроля предыдущих вычислений.
В случае гиперболической орбиты (тогда мы получим при решении уравнения
(3.2.64) а < 0) эксцентриситет орбиты и момент прохождения через
перигелий находятся следующим образом.
Вычисляем величины ei и 6i на основании формул
eV,2-?L- Г1 + Гг + s ch2-^i- ri+r2 - s 9
2 41a | ' 2 4! a | ' (о.2.Ь8)
Эти величины таковы, что
в, - б, = Я2 - Я,, (3.2.69)
а Я[ и Я2 удовлетворяют (3.1.05), (3.1.06) при t = t\ и t = t2
соответственно и представляют собой аналоги эксцентрических аномалий в
случае гиперболического движения.
С помощью соотношения г = а(\-есЬЯ) (а<0), рассматриваемого при t = ti и
t - t2, можно вывести формулы, аналогичные (3.2.67):
| (3.2.70)
По этим формулам находим е, Яi Ц- Я2, а затем Я] и Я2 с помощью (3.2.68).
Контролем вычислений служит формула (3.2.51).
С помощью (3.2.50) находим далее момент т прохождения небесного тела
через перигелий орбиты.
Вычисление элементов Я, i, со производится одинаково для эллиптической и
гиперболической орбит по формулам (3.2.42) - (3.2.47). При этом следует
иметь в виду, что указанные формулы предполагают использование
экваториальных гелиоцентрических координат xk, г/ft, zh (А = 1,2). Если
же Хь, уъ, Zh- эклиптические координаты, то нет необходимости в
преобразованиях, указанных в § 2.05, п. 8. Тогда мы получим вместо
(3.2.47) формулы
sin ? sinQ = Rx, sintsino) = P2, "j sin i cos Q = - Ryt зт/соз?о = Сг, f
(3.2.71) cos I = Rz, >
(2 | Д I + fi + г2)г
(r i - r2)2
4 a2
ch2
th
Ht + Иг
2 | a | /"j -J- /¦ а
E| - 6| 2
cth
sh2
Ei - 6,
El - fll 2
где Rx....Qz определяются согласно (3.2.42), (3.2.43), (3.2.45).
268 Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ [§ 2.10
§ 2.10. Определение элементов круговой орбиты
по двум наблюдениям
Пусть небесное тело наблюдалось только два раза в моменты t\ и t2, и
пусть аь, бл (ft = 1, 2) -две пары зафиксированных в эти моменты
геоцентрических экваториальных координат. Для определения эллиптической
орбиты двух наблюдений недостаточно, но возможно определить элементы
круговой орбиты, соответствующей этим двум наблюдениям. Такая орбита
может служить неплохим первым приближением для описания фактического
движения небесного тела, если, разумеется, фактическая орбита имеет не
слишком большой эксцентриситет.
Круговая орбита определяется четырьмя элементами: а (радиус орбиты), Q
(долгота восходящего узла), i (наклон), /0 (долгота планеты в некоторый
фиксированный момент времени t0). Вычисление этих элементов производится
следующим образом.
1. Вычисляются направляющие косйнусы ц*. Vh (ft = 1.2) геоцентрических
радиусов-векторов рi, р2 по формулам (3.2.01), а также прямоугольные
геоцентрические координаты Солнца Xk, Yh, Zk на моменты th (ft = 1, 2) .
2. Вычисляются величины
С* = - (A-jA +
Rl = X\ + Y\ + Zl, Si = R\ -Cl (ft = 1, 2),
A = - (Я^г + jAifi2 + V]V2), В = KiX2 + + V\Z2,
С = Я2Х, + ^ + v2Z" D==- (X,X2 + Y,Y2 + ZjZj).
(3.2.72)
3. Составляются соотношения для геоцентрических расстояний pi, р2 и
для гелиоцентрических прямоугольных координат
хк - - Xk,
Уь~ ^*Р* У". Pfc ~ ^l (ft = l|2),
%k VkPk
(3.2.73)
а также для угла 2f между гелиоцентрическими радиусами-векторами Г\(х\, у
и Zx), г2( х2, у2,г2):
a2 cos 2/ = XiX2 + уху2 + ZiZ2 (3.2.74)
или
sin* f = i + HPiP* + BPi + CP2 + D). (3.2.75)
§¦2.10]
ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
269
Последние две формулы, выведенные из геометрических соображений,
определяют так называемое геометрическое значение fгеом угла f. Вместе с
тем, поскольку небесное тело движется по круговой орбите радиуса а
равномерно с угловой скоростью п = ka~'!2, то за время t2 - t\
гелиоцентрический радиус-вектор опишет угол n(t2 - t\). Следовательно,
/ = --(-2а~^"д-1/., ? = 0°,98560767. (3.2.76)
Последняя формула определяет так называемое динамическое значение /дин
угла f.
Соотношения (3.2.75) и (3.2.76) образуют систему двух уравнений
относительно двух неизвестных а и f. Ее нетрудно решить, например, путем
варьирования значений а и последующего интерполирования. При каждом
заданном а можно вычислить непосредственно динамическое значение fntra
согласно (3.2.76), затем по формулам (3.2.73) pi и р2 и далее
геометрическое значение freoM согласно (3.2.75). Искомое а должно быть
таковым,
ЧТО /геом : /дин-
4. Ось орбитальной системы координат принимается направленной в ту
точку круговой орбиты, в которой небесное тело, движущееся по этой
