Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Глава 1
ВЫЧИСЛЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕННОГО КЕПЛЕРОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ ПО ЭЛЕМЕНТАМ
ОРБИТЫ
§ 1.01. Вычисление орбитальных координат в случае эллиптической или
гиперболической орбит
Даны элементы орбиты (см. ч. II, § 1.04) а, е и М0 (средняя аномалия в
эпоху to в случае эллиптической орбиты) или т (момент прохождения чбрез
перигелий в случае гиперболической орбиты). Задача состоит в вычислении
прямоугольных т] и полярных г, v орбитальных координат небесного тела,
движущегося по такой орбите, на некоторый момент t. Начало системы
координат ?г| совпадает с Солнцем 5 ось Sg направлена на перигелий, ось
5г) повернута по отношению к оси S\ на 90° по ходу движения небесного
тела. Угол v представляет собой истинную аномалию.
Формулы для вычислений ?, г), г, v в случае эллиптической орбиты
следующие [см. формулы (2.2 12), (2.2.13)].
? = a (cos Е - е), rj = а -\/1 - е2 sin?¦, (3.I.0I)
tg и = у r = a{\ - ecos?) (3.1.02)
(г) и ? имеют знаки синуса и косинуса v соответственно), причем
эксцентрическая аномалия Е вычисляется из уравнения Кеплера
Е - е sin Е = М, (3.1.03)
где
M = Mo + n{t-to), я = -р=г, (3.1.04)
у а3
k = 0°,98560767, е° = 57°,295780е
(в градусной мере).
В случае гиперболической орбиты используют следующие формулы [см. формулы
(2.2.38), (2.2.39) ч. II]:
? = а (е - ch Я), г\ = а л/е2 - 1 sh Я,
л (3.1.05)
tgu = Y" r = a(echH- 1),
причем величина Я находится из уравнения [формула (2.2.33)] eshH - H =
ka-'/'(t - т). (3.1.06)
248 ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ [§ 1.03
§ 1.02. Вычисление орбитальных координат в случае параболической орбиты
Вычисление |, т], г, v по элементам параболической орбиты т, р или q
производится с помощью формул [см. формулы (2.2.53), (2.2.54)]
l = q{ 1 - ст2),
П = 2 qa (q = f). г = 9(1 + ст2),
X V
tgT = CT>
(3.1.07)
где ст находится из уравнения [см. формулы (2.2.47) и (2.2.48)] ст + ±ст3
= -^1(*-т). (3.1.08)
§ 1.03. Вычисление орбитальных координат в случае орбит, эксцентриситет
которых близок к единице
Если эксцентриситет е близок к единице, то формулы § 1.01 малопригодны
для вычислений. Тогда ? и т] как для эллиптической, так и для
гиперболической орбиты вычисляются по формулам
? = <7(1-ст2), т1 = *<7стУ 2(1 -в)?/(0, (3.1.09)
где
е = y (1 -e), q - a( 1 - е), j
(3.1.10)
а а и ? находятся из уравнений
5 = ест2, ст?/(0 + о37(0 = Д> (3.1.11)
причем
B=q-'/'(t-r),
(3.1.12)
(Для эллиптической орбиты е > 0, ? > 0, для гиперболической е < 0, ? <
0.)
Уравнения (3.1.11) решаются методом последовательных приближений. В
первом приближении полагают ? = 0, с{/(0) + + ст3У(0)= В.
§ i.04] гл. l. вычисление координат невозмуЩенного ДВИЖЕНИЯ 249
§ 1.04. Вычисление гелиоцентрических прямоугольных эклиптических и
экваториальных координат
Для вычисления этих координат требуются также угловые элементы орбиты,
например, Я (долгота узла), i (наклон),
о (угловое расстояние перигелия от узла). Предположим, что даны
эклиптические элементы.
Гелиоцентрические прямоугольные эклиптические координаты х, у, г
вычисляются для всех трех типов орбит по формулам (подробнее см. ч. II,
гл. 2)
где и = о + v, г = р/ (1 + е cos v),
Гелиоцентрические прямоугольные экваториальные координаты х, у, г
вычисляются по формулам
где g, ri - орбитальные координаты,
Рх = cos со cos Я - sin со sin Я cos i,
Ру = (cos со sin Я + sin со cos Я cos t) cos в - sin со sin i sin e,
Pz - (cos co sin Я + sin co cos Я cos i) sin e + sin co sin i cos e,
Qx = - sin co cos Я - cos co sin Я cos i,
Qy = (- sin co sin Я + cos co cos Я cos i) cos e - cos co sin i sin e, Qz
= (- sin co sin Я + cos co cos Я cos i) sin e + cos co sin i cos e.
Векторы P(PX, Pv, Pt), Q(QX, Qy, Qz) называются векторными
экваториальными элементами орбиты. Компоненты этих векторов равны
косинусам углов, образуемых осями S|, Sr| орбитальной системы координат с
осями Sx, Sy, Sz экваториальной системы координат соответственно.
х = г (cos и cos Я - sin и sin Я cos г), у = г (cos usinfi + sinu cos Я
cos i),
2 = r sin ы sin i,
(3.1.13)
(3.1.14)
(3.1.15)
Глава 2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
Для определения элементов невозмущенной кеплеровской орбиты небесного
тела относительно Солнца достаточно вообще трех наблюдений с Земли,
произведенных в различные моменты и дающих на каждый момент прямое
восхождение а и склонение 8 наблюдаемого объекта.
Первый этап в этой задаче состоит в определении двух гелиоцентрических
положений небесного тела на крайние моменты наблюдений, второй этап - в
непосредственном вычислении элементов орбиты по двум гелиоцентрическим
положениям и третий этап - в вычислении по полученным элементам
геоцентрических координат небесного тела на средний момент (для
контроля). В данной главе будут приведены формулы и уравнения,
позволяющие провести все эти вычисления.
Кроме того, мы приведем формулы, позволяющие вычислить элементы орбиты по
начальным положению и скорости (гелиоцентрическим) .
Основные методы определения орбит изложены в работах [1] - [3]. См. также
