Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
bnKm>- ("+i)| dMn
ИЛИ
Sn(M) = Cn+l{M).
Разложение для г:
oo
f=5>X(M).
0
где
tfo(M)=l, /?n(^) = -Cn-,(M) (л Ф 0).
Разложение для ? = r cos и:
00
1=?Л4"(Л1),
n=0
где
Л1(М) = -1+С1(М), An(M)=Cn(M) {пф 0). Разложение для Ki = rsinu:
оо
л=л/г^Х!еЛ5"^-
п="0
Разложение для - :
оо
п=0
где
Ва(М) = -^Ш.
Коэффициенты Е", С", S", Rn, Ап и Вп можно представить в виде
тригонометрических полиномов по синусам или косинусам кратных М. Для
этого нужно воспользоваться следующими
§ 3.06] ГЛ. 3. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕН. ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 239
формулами:
sin2fc м = -рг { Z 1)*_12С|' cos 2 {k-i)M + С** j, sin2fe'1M = -^r2-5](-
l)ft+i_ICtfe_1 sin(2& - 2i - \)M,
l=A
где
суть биномиальные коэффициенты.
Так, например, для Еп(М) имеем
Еп (М) = ? (- 1 )г sin (n - 20 М,
f=o '
где га есть наибольшее целое число, содержащееся в п/2.
Приведенные здесь ряды, как и другие разложения в теории кеплеровского
эллиптического движения, сходятся абсолютно для всех е от 0 до предела
Лапласа.
§ 3.06. Тригонометрические ряды по кратным эксцентрической аномалии
Приведем разложения некоторых функций эллиптического движения в
тригонометрические ряды по кратным эксцентрической аномалии Е. Ряды по
кратным Е представляют интерес, особенно в тех случаях, когда при решении
уравнений возмущенного движения (см. ч. IV, гл. 3, 4) в качестве
независимой переменной принимается эксцентрическая аномалия.
1) Общие разложения для cos mv и sin то:
со
(-0 cos mv = Ao'т cos тЕ + Ak т cos (т -f k) Е +
s=i
оо
+ YJBkm cos (" - ft) Е, (2.3.32)
оо
("a") S*n mV = Ш S'n Ш s*n (т + &) -Е +
k~ i
00
+ ? В* т Sin {т - k) Е, (2.3.33) ft=*l
240
где
Ч. II. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[§ 3.06
Ао * =-(1 - е2У12 (1 - Р2Г То (я, т),
At m = (- P)ft СГт (l - е)Ы2 (l - p2)mTk(n, m),
Bft m = (- P)* C2+m(l - eY (l - pT Tk (n, - m),
причем
P =
1 + Vl -e2 '
r-q _ <7 (<7 - 1) (<7 - 2) ... (q - k + 1) bk~ k\
Tk{n,m) = F(-n - m,n - m+\,k+l; - ] ^ ),
a F(a, b, с; x) - гипергеометрическая функция (см. ч. IV, § 5.02).
2) Разложение для {Ф
со
Ю"=А°0+2 Z ^0 cos kE>
(2.3.34)
k= 1
где
AZa = (l-e*)TnF(-n,n + 1, 1;
Л*° = (-p)ftC*(l-e2)nl2F(-n,n + 1,6 + 1; -Т^5г).
7-vT^r(I+2|,pl,:os")-
4) Разложение для (у) :
во
(у)2 = (1 - 1 + 2 ? (1 + k VT-e2)pfe cos ??
L t=i
5) Разложение для cost" и sin о:
оо
cos v = - Р + (1 - Р2) ? р*"1 cos &?,
k=\
оо
sin у = (1 - р2) ? р*-1 sin kE.
k=i
(2.3.35)
(2.3.36)
(2.3.37)
(2.3.38)
§ 3.07] ГЛ. 3. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗ.ЧУЩЕН. ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 241
6) Разложение для истинной аномалии:
v = Е + 2 ^ sin kE,
(2.3.39)
*=]
где р определяется формулой (2.3.21).
§ 3.07. Ряды по кратным истинной аномалии
Приводимые ниже разложения некоторых функций в тригонометрические ряды по
кратным v особенно полезны в тех случаях, когда при интегрировании
дифференциальных уравнений возмущенного движения за независимую
переменную принимается истинная аномалия (см. ч. IV, гл. 3, 4).
1) Разложение для М (уравнение центра):
ОО
M = V + 1 Х(х + VTTr?)(- P)ft sin few. (2.3.40)
*=i
2) Разложение для Е:
оо
E = v + 2 J]-i=J^sinfto. (2.3.41)
k=\
3) Разложения для cos Е и sin Е:
cos Е = р + (1 - р2) ? (- Р)*-1 cos kv,
4=1
ОО
sin? = (l - pz) Yj (~ sin kv.
4=1
(2.3.42)
(2.3.43)
4) Разложение для (у) :
Г ОО
(т)" = ^ ~ Го <п' 0) + 2 Е (л> 0) cos kv
. (2.3.44)
4=1
242 Ч. И. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ [§ 3.08
5) Приближенная формула для М:
М - v - 2е sin v + (-j е2 + sin 2v - - sin За + е4 sin 4v.
(2.3.45)
§ 3.08. Разложения координат невозмущенного кеплеровского движения в ряды
по степеням времени
Рассмотрим частное решение дифференциальных уравнений невозмущенного
кеплеровского движения
?_____ж ___Z-_J±L (<) Ч Л(Л
X ^.з , у г3 , Z , (2.0.46)
удовлетворяющего начальным условиям при t = t0:
х = х0, У = Уо, z = 20,
Х = х0, у = у0, z = Й".
Если исключить случай прямолинейных движений, то на основании теоремы
Коши о существовании решений системы дифференциальных уравнений решение
уравнений можно представить в виде рядов по степеням t -t0, сходящихся во
всяком случае при достаточно малых значениях t - t0.
Пусть
х = XqF -f- x0G, y = yoF-\-yoG, г - ZqFZqG\ (2.3.47) тогда F и G будут
частными решениями уравнений
F + $F = 0, G + -?o = о, (2.3.48)
удовлетворяющими начальным условиям
F(*o) = l, G(t0) = 0, F(t0) = 0, G(g = l. (2.3.49)
Подставляя в уравнения (2.3.48) ряды
F=tak(t-t0)\ G='Zbk(t-t0)k (2.3.50)
k=0 ft=0
и приравнивая нулю коэффициенты при одинаковых степенях t -10, мы можем
последовательно найти коэффициенты а* и Ьи, удовлетворяющие условиям
(2.3.49).
§ 3.08] ГЛ. 3. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕН. ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 243
В результате будем иметь: а0 = 1, а, = 0,
1ц 1ц.
а2 - Т ~Т' аз - Т ~ г о>
2 гГ
2 г;
8 гХ
6 г"
3 Ц •
ак = - --6^ +
I_JL,3______
8 г!
I ц2
.6 * о
2 г5 Г°'
" _ 1 И h2 I Z-JL^fc 21 И
8_ 16 Г7 Q -7 0 ,с -7 °
''О
16 г'п
~4л +
120 г80
, Z. Ji!_ А2________________ZL Jii
6 г(r) 0 72 rg *
6 гх
", I 11 f.
^"ТТГ0'
b = - - Л - - - г2 4- - -
