Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
. (2.2.09)
1 + е cos v ' '
и = о + ю, (2.2.10)
х = г (cos и cos Я - sin и sin Я cos г), Ч
y = r (cos "sin Я + sin и cos Я cos г), ? (2.2.11)
z = rsinusiru. /
Здесь М называется средней аномалией, Е - эксцентрической аномалией, v -
истинной аномалией, и - аргументом широты, а уравнение (2.2.07) -
уравнением Кеплера.
Формулы (2.2.06) - (2.2.11) позволяют вычислить прямоугольные координаты
х, у, г для любого момента времени t, если известны элементы а, е, i, Я,
со, М0. Действительно, вычислив по первой формуле (2.2.03) п, мы для
любого момента t по формуле (2.2.06) находим М. Решив далее уравнение
Кеплера
(2.2.07), находим Е, после чего по формулам (2.2.08) - (2.2.10) вычисляем
последовательно v, г, и, а затем по формулам (2.2.11) X, у, Z.
Для решения уравнения Кеплера обычно используется метод последовательных
приближений. При этом в качестве первого
*вт = л/-
$ 2.01] ГЛ, 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 223
приближения для Е принимается М или некоторая величина, для которой в
зависимости от М и е построены специальные таблицы. Для значений
эксцентриситета, близких к единице, приведенные выше формулы
малопригодны. Модификация формул для этого случая дана в § 1.03 ч. III.
Достаточно полный обзор работ, посвященных способам решения уравнения
Кеплера, содержит статья [6]. Вспомогательные таблицы приводятся в [7] -
[11]. Кроме того, можно указать также таблицы для значений v - М в
зависимости от М [12] - [15]. Для вычисления положений ИСЗ И. Д.
Жонголовичем и
В. М. Амелиным составлены таблицы, дающие v - М с точностью до 0°,01
[16].
Радиус-вектор т и прямоугольные координаты х, у, г можно вычислять и по
другим формулам, не требующим знания истинной аномалии v. Эти формулы
имеют вид
Здесь I и т) - орбитальные координаты, а направляющие коси" нусы Ас, Ру,
..., Qz определяются через элементы Я, со, I следующим образом:
При массовых вычислениях формулы (2.2.12) - (2.2.16) имеют преимущество
по сравнению с формулами (2.2.08) -
(2.2.11), ибо величины Рх, Ру, Q* не зависят от времени и
r = a( 1 - ecos Е), ? = а (cos Е - е),
(2.2.12)
(2.2.13)
(2.2.14)
Рг = sin ш sin i, J
(2.2.15)
(2.2.16)
Для контроля вычислений используют равенства
р1 + р1 + р1= 1,
О* + Qj + Qi = l, PxQx + PyQy + PzQ* = о.
(2.2.17)
224
Ч. II. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
[§ 2.02
для каждого момента нужно вычислять лишь Е, cos Е и sin Е, после чего
легко находятся г, ?, т], а затем и х, у, г.
3. Скорость в эллиптическом движении. Пусть V - скорость, VT -
радиальная скорость и Vn - трансверсальная скорость. Тогда
Эти формулы позволяют вычислить проекции скорости на оси координат. Для
вычисления V имеем формулу
где ц = г0 и V0 - начальные значения модулей ра-
диуса-вектора и скорости.
1. Элементы орбиты. Поскольку е=0, положение перицентра не определено.
Поэтому можно положить со =0 и круговая орбита будет характеризоваться
следующими элементами: а - радиус, i - наклон, Я - долгота узла, М0 -
средняя аномалия в эпоху (см. § 2.01). Вместо М0 можно рассматривать
среднюю долготу в эпоху е, определяемую формулой (2.2.05). Вместо а можно
ввести среднее движение п или период обращения Т по формулам (2.2.03).
2. Вычисление прямоугольных координат. Все формулы кругового движения
можно получить из формул эллиптического
(2.2.18)
(2.2.19)
(2.2.20)
Дифференцируя по времени формулы (2.2.11), найдем х = -у Vг + (- sin и
cos ?2 - cos и sin Q cos i) Va, y = yVr-\-{- sin и sm Q + cos и cos Й cos
t) Vn, (2.2.21)
z = у Vr + cos и sin i ¦ Vn.
V2 = x2 + y2 + i2,
(2.2.22)
которую можно использовать для контроля.
§ 2.02, Круговое движение
Круговое движение имеет место, когда
(2.2.23)
§ 2.03] ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯ 225
движения, если в них положить е = 0, со = 0. В случае кругового движения
имеем
u = v = E = М.
Поэтому формулы (2.2.06) - (2.2.11) переходят в следующие:
Здесь Рх, Ру, ..., Qz определяются формулами (2.2.15) и
3. Скорость в круговом движении. Дифференцируя формулы (2.2.25) по
времени, получим
где h - постоянная энергии, г0 и У0 - начальные значения модулей радиуса-
вектора и скорости.
1. Элементы орбиты. Гиперболическая орбита характеризуется следующими
элементами: а - действительная полуось, е - эксцентриситет, i - наклон, Я
- долгота узла, со - угловое расстояние перицентра от узла, т - момент
прохождения через перицентр (см. § 1.04). Иногда рассматривают
модификации
8 Под ред. Г. Н. Дубошина
M = n(t - ta) + М0, х = а (cos М cos Я - sin М sin Я cos i),
(2.2.24)
(2.2.25)
2 = a sin М sin i.
Вместо формул (2.2.13), (2.2.14) будем иметь
(2.2.26)
так как
| = a cos М, r\ = a sin М.
(2.2.27)
(2.2.16).
Скорость V найдется по формуле
(2.2.28)
(2.2.29)
§ 2.03. Гиперболическое движение
Гиперболическое движение имеет место, когда
h> 0, Vl>^, сФ 0,
Г0
(2.2.30)
226 ч. II. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ [§ 2.03
этих элементов. Так, вместо а вводят параметр орбиты р или элемент q по
формулам
р = а(е2- 1), q - а(е - 1). (2.2.31)
