Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
координаты центра масс тела Р0, а через т], ? - координаты центра масс
тела Р. Тогда дифференциальные уравнения движения тел Ро и Р запишутся в
виде
г3
?о - S г3
(2.1.01)
*) Это строго справедливо для тел сферической структуры и приближенно-
для тел, размеры которых малы по сравнению с разделяющим их расстоянием"
212
Ч. И. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
К 1.01
где / - постоянная тяготения, а
Г = V(E - У2 + (л - Л >У + (? - ?о)2 (2.1 -02)
есть расстояние между телами Р0 и Р.
Абсолютная система координат 0?г)? на практике не является удобной.
Поэтому приходится пользоваться другими системами координат.
2. Дифференциальные уравнения относительного движения.
Возьмем прямоугольную систему координат P^xyz с началом в центре масс
тела Р0, с осями PqX, Р0у, PqZ, соответственно параллельными осям 0|,
От), 0?. Тогда формулы преобразования координат имеют вид
Дифференциальные уравнения (2.1.04) описывают невозмущенное кеплеровское
движение планеты относительно Солнца, невозмущенное движение спутника
относительно планеты, невозмущенное движение искусственного спутника
относительно Земли и т. д.
3. Дифференциальные уравнения относительного движения в цилиндрических
координатах. Введем цилиндрические координаты р, Я, г по формулам
Тогда дифференциальные уравнения движения тела Р относительно Ро будут
иметь вид
1 = 1о + х, Л = т1о + г/. ? = ?o + z. (2.1.03)
Дифференциальные уравнения относительного движения тела Р запишутся
следующим образом:
(х = / (m0 + т), r = V*2 + У2 + г2. (2.1.05)
JC=PC0S^, ?/ = р sin А,, 2 = 2.
(2.1.06)
d2 р
(2.1.07)
d2z Ц2
dt2 г3
где
Г = Vp2 + 22 ,
а ц определяется формулой (2.1.05).
1.01)
ГЛ. 1. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
213
4. Дифференциальные уравнения относительного движения в сферических
координатах. Пусть г, ф, Я - сферические координаты, определяемые
формулами
дг = гсозфсозЯ, у = г cos ф sin Я, z = rsir^. (2.1.08)
Тогда движение тела Р относительно Ро описывается следующей системой
дифференциальных уравнений:
d-r (dy у (dX у , ц
4F-r\Jr) -ГЬГ) соз*ф = -тг.
1Г if' Itt) + r2 (I)2 sin Ф cos Ф = °. (2-1 -09)
1(^4гсоз2ф)=°-
где [1 дается формулой (2.1.05).
5. Дифференциальные уравнения относительного движения в форме Клеро -
Лапласа. Из второго уравнения (2.1.07) находим интеграл площадей
р dX
Р ЧГ = °'
(2.1.10)
где с - произвольная постоянная. Если в начальный момент
t - to
- dX _ i P - Po. - Ao,
TO С = РдЯд.
Введем переменные и и s по формулам
и = ¦
Z
S = -.
Р
(2.1.11)
Тогда, приняв за независимую переменную долготу Я, уравнения (2.1.07)
можно преобразовать к виду
d2u
I - 11 г- --
г2
dX2 d2s dX2
¦И =-#¦(! +JS2)_V*,
+ s =0.
(2.1.12)
После того как из уравнений (2.1.12) переменные и к s будут найдены как
функции Я, уравнение (2.1.10) позволит связать долготу Я со временем t.
Дифференциальные уравнения в форме Клеро - Лапласа были использованы
Лапласом в теории движения Луны.
fil4 Ч. II. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ [§ .1.04
6. Каноническая форма уравнений относительного движения.
Уравнения (2.1.04) можно записать в канонической форме:
dx дН dy дН dz дН
~df ~ дх ' dt ~ ду ' dt дг '
dx дН dy дН dz дН
dt ~ дх ' dt ду ' dt dz
(2.1.13)
где
Н = j(x2 + y2 + z2)-±. (2.1.14)
Примем теперь за обобщенные координаты qit q2, <7э сферические координаты
q\=r, ?2 = ф, q3 = k. (2.1.15)
Тогда обобщенные импульсы р\, р2, рз определятся формулами
Pi = f, р2 = г2ф, p3 = /-2sin2? ¦ i, (2.1.16)
а канонические уравнения движения запишутся в виде dqt дН dp{ дН
(/=1,2,3), (2.1.17)
dt дрс ' dt dqc
где
Я = 4 + ^гЧ^)-- (2.1.18)
2 V q{zo%zq2J Q\.
есть функция Гамильтона в новых переменных.
§ 1.02. Первые интегралы уравнений невозмущенного кеплеровского движения
Дифференциальные уравнения (2.1.04) допускают следующие первые интегралы.
Интегралы площадей:
yz - zy = Ci, '
zx - xz = c2, " (2.1.19)
ху - ух = с3, ¦
где сь с2, Сз - произвольные постоянные (постоянные площадей) .
Интеграл энергии (живой силы):
& +у*+ & = +h, (2.1.20)
где h - произвольная постоянная (постоянная энергии или постоянная живой
силы).
§ 1.02] ГЛ. I. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
215
Если через V обозначить скорость тела Р относительно Ро, то интеграл
энергии можно записать в виде
где Я,1, Яг, кз- произвольные постоянные (постоянные Лапласа). Интегралы
Лапласа можно также записать в виде
Между постоянными интегрирования имеют место две следующие зависимости:
Поэтому из семи приведенных здесь интегралов только пять являются
независимыми.
Вектор момента количества движения и вектор Лапласа. Равенства (2.1.19)
показывают, что постоянные Сг, с3 суть проекции вектора момента
количества движения (на единицу массы) тела Р на координатные оси. Модуль
этого вектора (в дальнейшем будем его называть постоянной площадей) равен
а его направляющие косинусы относительно осей х, у, г будут
С1 ^2 Сз
С * с ' с
Рассмотрим вектор к, проекции которого на координатные оси равны ки кг,
кз¦ Этот вектор, модуль которого
V2 = ^ + h.
Г 1
