Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Вместо элемента ш часто рассматривают элемент
it = Q + со,
называемый долготой перицентра.
2. Вычисление прямоугольных координат. Пусть движение тела Р
рассматривается в относительной системе координат Р0хуг. Тогда для
вычисления прямоугольных координат х, у, г могут служить следующие
формулы:
п = л/^' (2-2-32)
е sh Н - Н = п {t - т), (2.2.33)
tei = V7^Tth4- (2.2.34)
r g(e2 -В (2.2.35)
1 + е cbs v ' '
ы = " + ш, (2.2.36)
х = r (cos ucos й - sin ы sin Qcosi), "j
г/= г (cos " sin й + sinu cos Й cost), ? (2.2.37)
2 = rsinusin/. )
Здесь v - истинная аномалия, и - аргумент широты.
Для решения уравнения (2.2.33) пользуются методом последовательных
приближений.
Приведенные формулы требуют вычисления истинной аномалии. Можно, однако,
воспользоваться формулами, по которым радиус-вектор и прямоугольные
координаты вычисляются без предварительного определения v. Эти формулы
имеют такой вид:
/¦ = a (ech Я - 1), (2.2.38)
| = a(e-chtf), 1
[ (2.2.39)
т] = а Vе - 1 sh Я, J .
* = + ФхП. 1
У = РУ1 + Qj/Л. f (2.2.40)
2 = Рг\ + Q^b >
где | и т] - орбитальные координаты, а направляющие косинусы Рх, Py.---
.Qz определяются формулами (2.2.15) и (2.2.16).
§ 2.04] ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 227
Замечание. Если в формулах эллиптического движения
щие формулы гиперболического движения.
3. Скорость в гиперболическом движении. Для вычисления проекций
скорости на координатные оси нужно воспользоваться следующими формулами:
z = у Vт -f cos и sin i • Vn,
где радиальная Vr и трансверсальная Vn составляющие скорости определяются
уравнениями
При этом для контроля можно пользоваться интегралом энергии
где h - постоянная энергии, г0 и V0 - начальные значения модулей радиуса-
вектора и скорости.
1. Элементы орбиты. Параболическая орбита характеризуется следующими
пятью элементами: р - параметр орбиты,
i - наклон, Q - долгота узла, со - угловое расстояние перицентра от
узла, х - момент прохождения через перицентр (см. § 1.04). Часто вместо
параметра вводят элемент
В случае движения относительно Солнца q называется периге-лийным
расстоянием, а при движении относительно Земли - перигейным расстоянием.
заменить а на -а и
V- 1 ? на Я, то мы получим соответствую-
х - у Vт + (- sin и cos Я - cos и sin Я cos i) Vn, у = у Vr + (- sin и
sin Я + cos и cos Я cos i) Vn, (2.2.41)
(2.2.43)
(2.2.42)
Скорость V находится из формулы
V2 = х2 + у2 + z2.
(2.2.44)
§ 2.04. Параболическое движение
Параболическое движение имеет место, когда
й = 0, Vl = ^-, сФ 0, е= 1, Г0
(2.2.45)
(2.2.46)
228 ч- п- ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ [| 2.04
Вместо элемента и иногда рассматривают долготу перицентра п = Я + св.
2. Вычисление прямоугольных координат. Пусть движение тела Р
рассматривается в относительной системе координат PaXyz. Тогда
прямоугольные координаты х, у, z могут быть вычислены по формулам
n==V'W' (2-2-47)
te-f+ TtgST==n^-^* (2-2-48)
r = q sec2 у, (2.2.49)
" = 1> + ю, (2.2.50)
* = r (cos u cos й - sinu sin Я cos г), i
у -r (cos ц sin Я + sin "cos Я cos:), f (2.2.51)
2 = r sinu sin/. J
Кубическое уравнение (2.2.48), называемое иногда уравнением Баркера,
всегда имеет единственный действительный корень. Вспомогательные таблицы
можно найти в [7] - [11].
Вместо формул (2.2.48) - (2.2.51) можно также воспользоваться следующими
формулами:
a + la3 = n(f -т), (2.2.52)
г = ?(1 + а2), (2.2.53)
? = <7(1 - о2), т] = 2 qo, (2.2.54)
x = Pxl + Qx% 1
y = Pul + Qyi\, г (2.2.55)
z = РЛ 4- QzTb '
где g и т| - орбитальные координаты о = tg у, а Рх, Ру, ..., Qt
даются уравнениями (2.2.15) и (2.2.16).
3. Скорость в параболическом движении. Для вычисления проекций
скорости на координатные оси имеем следующие формулы:
х = у Vт + (- sin и cos Я - cos и sin Q cos i) Vn, у = - Vr + (- sin и
sin Я + cos и cos Я cos i) Vn, (2.2.56)
z = y Vr + cosMsInz ¦
§ 2.05] ГЛ. 2. ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ НЕВОЗИУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ 229
где радиальная VT и трансверсальная Vn составляющие скорости определяются
уравнениями
Vr = aJsin v, Va = (1 -fcoso). (2.2.57)
Для вычисления скорости V могут служить формулы V2 = x2 + y2 + z2 = V2r +
V2n,
У2 = ~. (2.2.58)
Последней формулой следует воспользоваться для контроля.
§ 2.05. Прямолинейное движение
Прямолинейное движение имеет место, когда
с = 0, (2.2.59)
где с - постоянная площадей.
Положение прямой в пространстве можно задать тремя направляющими
косинусами Рх, Ру, Рг (см. (2.2.15)), между которыми существует
соотношение
р1 + р1 + р1 = 1. (2.2.60)
Для прямоугольных координат х, у, z будем иметь следующие формулы:
х = Рхг, у = РуГ, ' z = Ргг, (2.2.61)
где г - радиус-вектор.
1. СлучайЛ = 0. Здесь
'•)]'• (2-2'62)
где |д = /(то + т), а го- значение радиуса-вектора в начальный момент t
== to- Знак "+" нужно брать тогда, когда начальная скорость Vo направлена
от тела Ро, и знак "-", когда Уо направлена к телу Ро-
2. СлучайЛ<0. Для радиуса-вектора имеем
г = а (1 - cos Е), (2.2.63)
где Е определяется из уравнений Кеплера при е = 1,
Е - sin? = n(t - т), (2.2.64)
