Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
¦ cos kM. (2.3.06)
k-\
5) Разложение для обратной величины радиуса-вектора:
оо
у = 1 + 2 ? }k (ke) cos kM. (2.3.07)
4=1
6) Разложения для орбитальных координат J и г|:
Ы+Е
Ik-1 (ke) - Ik+1 (ke)
COS&Af,
k=\
Ik (ke) .
e Z_i k
ft=i
sin kM.
(2.3.08)
(2.3.09)
В приведенных разложениях функции Бесселя Jh(ke) даются следующей
формулой:
•№) = ?
(-0" п\ (п + ft)I
п=0
(*)
ft+2 п
(2.3.10)
Приведем явные выражения для некоторых первых коэффициентов Jh(ke):
Л(")"70-т+та-шв+
1 14 \ 9fi3 (л 9е2 I 81е< ^
¦^з(Зе)- 16 V 16 640
Т /А Ч 2в' (\ 4е! I 4в1
^(4е) з (1 5 15 • • ' J'
625е5 /. 25е2 . 625е' \
Л 24 1344
/5( 5е)-.
768
(2.3.11)
, . 81е6 /, 9е2 . 81е' \
Ув(6е) = -go-^l - - + -П2-------------------¦¦)¦
Для вычисления функций Бесселя при других значениях k полезно иметь в
виду рекуррентные формулы (4.5.35) и (4.5.36).
234
Ч. И. ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ
(§ 3.02
§ 3.02. Разложение функций истинной аномалии в тригонометрические ряды по
кратным средней аномалии
1) Разложения для cos v и sin v:
Явные выражения коэффициентов С(tm)'п и Sl,m с точностью до е7 включительно
для п - -5, -4, -3, -2, -I, 0, I, 2, 3, 4 и т = 0, 1, 2, 3, 4, 5
содержатся в таблицах Кэли [17]. Выражения для этих и некоторых других
коэффициентов с точностью до е20 .опубликованы в работе [18].
00
(2.3.12)
00
sin v = У1 - е2 X! [А-i (ke) - Jk+l (ke)\ sin kM. (2.3.13)
2) Уравнение центра:
оо
v - М = X Hk sin kM, (2.3.14)
(2.3.14)
где
3) Разложения величин т - целые числа:
(2.3.15)
cos mv и
sin mv, где п и
00
(2.3.16)
оо
(2.3.17)
§ 3.03] ГЛ. 3. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕН. ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 235
4) Коэффициенты Ганзена. Коэффициентами Ганзена Х1'т называются
коэффициенты разложения функции
(-J) exp inw, где i = V~ 1 ' в РЯД виДа
оо
exp imv = Xl"т exp ikM. (2.3.18)
- 00
Выражения коэффициентов Ганзена с точностью до е20 можно найти в работе
[18].
Общее выражение для XI'т имеет вид
Хк т = (1 + РУ 1I ЕI'-Vp (М. (2.3.19)
- оо
где
" _ Ь п п, {П~ + 1\
' ' "U-p-Jx
y.F{k - р - п- 1, - т - п- 1, k - р - т + р?), (2.3.20)
причем
Р =-------f - , (2.3.21)
а через F(a, b, с; х) обозначена гипергеометрическая функция.
§ 3.03. Первые члены рядов по кратным средней аномалии для некоторых
функций
Приведем явные выражения для наиболее часто употребляемых функций
эллиптического движения с точностью до е3 включительно:
Е = М + {е - sin М + - J sin Ж + -J е3 sin Ж, (2.3.22)
о = Af + (2е - х) sin М + e3sin 3М, (2.3.23)
- == 1 + у + е + у е3) cos М - у cos 2М - е3 cos 3М,
(2.3.24)
~ = 1 + (е - у) cos М -f- е2 cos 2 М + е3 cos 3 М, (2.3.25)
236 ч- п- ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ [$ 3.04
•| = --|e + (l - J-e2)cosM + (у - y)cos2M -f
+ е2 cos ЗМ -f cos 4M, (2.3.26)
¦3- = (l - e2) sin M + (¦§¦ - ^ e3) sin 2M +
+ e2 sin 3Af + -y sin 4Af, (2.3.27)
=1 + у e2 -f (- 2e + cos M - -y cos 2M - cos 3Af,
(2.3.28)
(-?-)2=l + ±^ + (2e + |e3)cosM + |-e2cos2M-f-j-e3cos3M,
(2.3.29)
(^-)cosi> = - ye + (l - -|e2)cosM +
+ -y cos Ш + (-| - y) cos 2M + у e2 cos 3M, (2.3.30)
(y) sin v = (l - e2) sin M + (y - e3) sin 2M +
+ ye2 sin 3M + -y sin4Af. (2.3.31) Здесь g и г) - орбитальные координаты.
§ 3.04. Формула Лагранжа
Уравнение вида
2 - а - af (г) = 0,
где г, а и параметр а - комплексные величины, a f(z)-заданная функция,
голоморфная внутри некоторого контура S, содержащего точку а, называется
уравнением Лагранжа.
Если на контуре S
| af (г) | < ] г - а 1,
то уравнение Лагранжа имеет внутри контура S единственный корень,
являющийся голоморфной функцией а и обращающийся в а при а - 0.
Этот корень может быть найден при помощи формулы Лагранжа, которая имеет
вид
2=Ё?^[г"о].
п="0
§ 3.05] ГЛ, 3. РАЗЛОЖЕНИЕ КООРДИНАТ НЕВОЗМУЩЕН. ДВИЖЕНИЯ В РЯДЫ 237
Рассмотрим теперь некоторую заданную и голоморфную внутри контура S
функцию Ф(г). Тогда разложение этой функции от корня уравнения Лагранжа
дается формулой
которую можно назвать обобщенной формулой Лагранжа.
Приведенные здесь разложения для г и Ф(г) абсолютно сходятся для любого
значения а в области, ограниченной контуром S, и параметра а,
удовлетворяющего условию
Формула Лагранжа и ее обобщение играют весьма важную роль в небесной
механике. Действительно, поскольку уравнение Кеплера можно рассматривать
как частный случай уравнения Лагранжа, то они позволяют достаточно просто
построить ряды по степеням эксцентриситета е для эксцентрической аномалии
Е и различных функций Е.
§ 3.05. Ряды по степеням эксцентриситета
Применительно к уравнению Кеплера формула Лагранжа и ее обобщение дают
Первая из этих формул позволяет написать разложение эксцентрической
аномалии в ряд по степеням эксцентриситета, а вторая дает возможность
получить соответствующие разложения для различных функций эксцентрической
аномалии, Разложение для Е:
оо
оо
со
E = M+ZenEn(M),
где
238 ч- "¦ ЗАДАЧА ДВУХ ТЕЛ |§ 3.05
Разложение для cosЕ:
ОО
cos E=ZenCn(M),
п=0
где
Г ___1 (sin"*1 М)
^nVV1} "| dMn-1
Разложение для sin?:
00
sin?=E enSn (M),
n=0
где
с (M) -_______1 (sinn+3 M)
