Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
nf\)jr\i (f = 1, 2) и с этими значениями пи п2 находим уточненные
значения рь р0, рг непосредственно из уравнений (3.2.11).
г) По формулам (3.2.12) вычисляем второе приближение для xh, yh, zk,
rk (k = 1, 0, 2).
Точно так же можно получить дальнейшие приближения, но обычно они не
требуются.
Случаи эллиптической и гиперболической орбит отличаются друг от друга
тем, что при вычислении ri0 в первом случае х > 0, а во втором х < 0.
§ 2.02. Особые случаи, встречающиеся при вычислении
гелиоцентрических координат
Вычисление гелиоцентрических положений указанным выше путем оказывается
непосредственно невозможным, если определитель D [коэффициент при р0 в
уравнении (3.2.05)] равен нулю. Это будет тогда, когда все три
наблюденные геоцентрические положения лежат на одном большом круге
небесной сферы. Возможны при этом следующие случаи.
1) Определители Ui, U0, U2 не все равны нулю.
Тогда первое из уравнений (3.2.05) после подстановки в него выражений
(3.2.06) для пи п2 приведется к виду
- n4Ul + и0- п\и2 - {А,и, + А2и2) г-з = о, (3.2.18)
из которого можно найти г0. Второе из уравнений (3.2.05) позволит найти
рь. Дальнейшие вычисления выполняются так же, как указано выше.
2) Ui = U0 = U2 = 0, но не все миноры
Mi Из *1 A<2
v, v2 I Vi V2 1 Hi Ц2
определителя D равны нулю.
Это будет иметь место, если все три наблюденные положения небесного тела
лежат на эклиптике. Найти из уравнений (3.2.05) ро и Го в этом случае
нельзя. Для определения элементов орбиты требуется тогда не три, а четыре
наблюдения.
3) Ui - U0 = U2 = 0, все миноры (3.2.19) равны нулю, так что Xi = [ii
= ^2, vi = va (видимые положения небесного
§ 2.03)
ГЛ. 2 ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
255
тела для крайних моментов t\ и t2 совпадают), но миноры
(3.2.20)
Но Hi А,0 A,i XQ A,j
Vo Vi 1 V0 Vi 1 Ho Hi
не все равны нулю.
Тогда составляется уравнение, аналогичное (3.2.18),
- n°U[ + U'Q - пр'2 - {A,U\ + A2U'2) г~3 = 0, (3.2.21)
где
и'к =
Я0 A.J Хк Но Hi Ук v0 v, Zk
(ft = 1. 0, 2),
из которого определяется Г\. (Если не все наблюденные положения лежат на
эклиптике, то не все ?/', /76, U2 обращаются в нуль.)
Из уравнения
где
r? = pf + 2ClPl + *?,
С, = - (Я,*, + ц.У, + VjZj), e X* + уа + Z\,
находится pi. Из основных уравнений (3.2.11) находится далее Р2 и т. д.
4) Если Ui = Uq = U2 = 0 и все миноры (3.2.19), (3.2.20) равны нулю,
то все наблюденные геоцентрические положения небесного тела совпадают
друг с другом. Элементы орбиты определить нельзя.
§ 2.03. Определение гелиоцентрических положений по четырем
геоцентрическим наблюдениям в случае эллиптической или гиперболической
орбит
Пусть даны четыре пары наблюденных геоцентрических экваториальных
координат а а, 6* (ft = 1, 0, 2) и ао, бо на моменты /1, to) to, t2
соответственно (при этом < /0 < t'o < t2).
Обозначим через Хк, цА, \h (ft = I, 0, 2), K'Q, ц,', v' направляющие
косинусы геоцентрических радиусов-векторов Pj, р0, р', р2> вычисляемых по
формулам, аналогичным (3.2.01).
К использованию четырех наблюдений приходится прибегать тогда, когда все
наблюденные положения небесного тела или лежат точно на эклиптике или
достаточно близки к ней. Определение гелиоцентрических положений
выполняется следующим образом.
256 Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ [$ 2.03
Рассматриваем уравнения (3.2.11) для геоцентрических расстояний pi, ро,
рг, записав их в виде
Ро^о Ргл2^2 = Pini^i Ч- - П2Х2Л
РоМ-о - Ра"2М-2 = -njx + Y0 - n2Y2, ? (3.2.22)
PoV0 - p2n2v2 = p^jV, - riyZi + z0 - n2Z2. )
Выбрав два из этих уравнений, для которых определитель коэффициентов
левых частей наибольший, выразим р2 через pi:
P2 = KI±Pi + Ll%r + L2± + Li, (3.2.23)
где величины К, Lu L2, L3 выражены через
Vs, Xk, Yk, Zk (Л = 1,0, 2).
Рассмотрим аналогичные уравнения для геоцентрических расстояний рр р',
р2, из которых также выразим р2 через pi:
Р2= ¦*' ^ Pi + L\\+ К ^ + L'3. (3.2.24)
Коэффициенты К', L\, L2, Ц вычисляются по
I1*' vk> ^k' ^*> 1> 2) и Я0, m-q, v0, X0, Ku, ZQ.
Величины ni, n2, n', n2 представляют собой отношения площадей
треугольников, образованных соответствующими радиусами-векторами.
Приближенно полагают
гц = у~, tii=~ (*' = 1. 2), (3.2.25)
То То
где
*l = k (t2 - ta), TQ = k [t2 - fj), T2 = k (f0 - <i), ]
T\ = k(t2-t'0), х5 = Л(Й-Л). J
Подставив эти значения ni, n%, n\, n2 в (3.2.23) и (3.2.24), получим два
уравнения для нахождения в первом приближении значений pi, р2.
Приближенные значения гелиоцентрических координат на моменты t\, t2
вычислим далее по формулам
Xt = Kip[-Xl, yl = \ilpi~Yi, zi = vipi-Zt (i=l, 2). (3.2.27)
Дальнейшее уточнение гелиоцентрических кородинат можно выполнить
принципиально так же, как было указано в предыдущем параграфе, а именно:
1. С помощью уравнений (3.2.22) находим р0, исходя из полученных
значений pi, р2, а из соответствующих уравнений для рр Ро, р2 находим р'.
§ 2.04|
ГЛ. 2. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОРБИТ
257
Затем по формулам, аналогичным (3.2.27), находим гелиоцентрические
координаты на моменты t , to.
