Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Кроме того, поскольку фактическая орбита любого небесного тела не
является невозмущенной (кеплеровой), элементы предварительной орбиты
представляют собой, по существу, некоторые средние элементы кеплеровой
орбиты, приближенно представляющей возмущенное движение, наблюдаемое на
данном интервале времени.
Методы улучшения первоначальной орбиты небесного тела преследуют цель или
уточнения предварительных элементов кеплеровой орбиты в предположении,
что движение остается невозмущенным, или нахождения как можно более
точных значений оскулирующих элементов орбиты на тот или иной момент
времени в предположении, что имеет место возмущенное движение.
Наряду с учебными пособиями [1], [2] для более подробного ознакомления со
способами улучшения орбит можно рекомендовать [7], [8].
§ 3.01. Дифференциальное исправление орбит.
Постановка задачи
В настоящее время для улучшения первоначальной орбиты наиболее
эффективным является так называемый дифференциальный метод исправления
элементов орбиты, рассчитанный на применение современной вычислительной
техники и позволяющий использовать всю совокупность наблюдений данного
небесного тела.
Пусть имеются наблюденные значения геоцентрических экваториальных
координат а<н), б((н) (t= 1, ..., я) на моменты
t\, ..., tn- Пусть имеется таблица значений aJB), б(,в\ геоцентрических
расстояний р(гв), а также прямоугольных экваториальных гелиоцентрических
координат x<f\ у[в\ z^B), вычисленных на эти
274
Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ
IS 3.01
же моменты по элементам предварительной орбиты, отнесенной к моменту t0.
Обозначим через Да;, Дб,-, Ддс,-, Дуи AZi ошибки вычисленных координат,
так что
Да. = а<н> - Дб; = 6<н> - 6<3>,
дxi =х\ - *<Б)> = у] - yf\ Az, = z\ - z<B\
где х*, I/*, z\ - значения х, у, г, точно соответствующие наблюденным
а(н), 6[н). Предполагается, что ошибки Да,-.........AZi малы
и зависят только от погрешностей элементов предварительной орбиты на
момент tQ.
Зависимость Да<, Дб,- от Axit Дуи AZi выражается с точностью до членов
первого порядка формулами
cos 6, ¦ Да,- =---- sin а( • Axt + - cos at • Ау{,
Pi P{
Дбi =------ sin б( cos a4 • Axj-- sin 6/ sin at • Дyt +
P< Р,-
+ -J-cos bi-Azi,
P i
(3.3.01)
где a,-, 6*, pi - вычисленные значения (индекс "в" для сокращения записи
опускаем).
В свою очередь зависимость Ахи Дyit Azt от поправок к элементам
предварительной орбиты выражается с точностью до членов первого порядка
формулами
д*'=Е (-
дг \ dEk)i
А Ек
(3.3.02)
(t= 1, 2, ..., я),
где Е\......Еб - элементы орбиты, а • ••• - значения
частных производных х, у, z по Eh на момент f,-. Членами порядка выше
первого в формулах (3.3.01), (3.3.02) относительно Ах, А у, Аг и AEh
пренебрегают. В формулах (3.3.02) часто для
S 3.02]
ГЛ. 3, УЛУЧШЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ОРБИТЫ
275
удобства вычислений в качестве Е\.......Е6 принимают некото-
рые функции элементов.
Вычисление координат а<в), 6<в>, *<в>, г(гв) может производиться по
формулам невозмущенного движения. Тогда ошибки Да,-, Дб,-, ДХ{, Аг/i,
Дг,- обусловлены отклонением фактического движения от невозмущенного, и
ДEk (k = 1, ..., 6) надо рассматривать как поправки к элементам (или
функциям от элементов) невозмущенной орбиты, учет которых позволит
получить невозмущенную орбиту, достаточно хорошо описывающую фактическое
движение. Однако чаще всего координаты а<в>, б<в>, х(в>, zW вычисляются с
учетом возмущений. Тогда ДЕк рассматривают как погрешности начальных
значений элементов (или функций элементов) оскулирующей орбиты на момент
t0, учет которых позволит вычислить более точно возмущения. Члены,
обусловленные изменениями Ец с течением времени и неточностью метода
вычисления возмущений, считаются имеющими более высокий порядок малости и
при составлении соотношений
(3.3.02) не учитываются.
После нахождения численных значений производных
' "" п°Дставляют выражения (3.3.02) для Ах{, Ауи А в (3.3.01) и получают
соотношения вида
Д?, + • • • + "е' ~ cos ^аг )
М°Д?!+ +6б1)Д?б = ДЗ<1 J (3'3'03)
где а(А1\ ЬЦ* - численные коэффициенты. Эти соотношения пред-
ставляют собой так называемые условные уравнения относительно Д?ь ...,
Д?б> решаемые по способу наименьших квадратов (с применением ЭВМ, если
число наблюдений достаточно велико). См. ч. VII, гл. 4.
§ 3.02. Выражения для производных от координат
по элементам (или по функциям элементов)
Укажем формулы для производных ПРЙ'
нимая в качестве Е\, ..., Eg несколько наиболее употребляемых в этой
задаче систем параметров (элементов или функций элементов) для орбит
различных типов.
1. В случае эллиптических орбит с довольно значительным
эксцентриситетом е, но не близким к единице, принимают
Ei = ^i(i = 1, 2, 3), ?4 = ^0, Е5 = е, Es = Af0, (3.3.04)
276
Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ
[§ 3.02
Параметры \fi, \р2, ^з эквивалентны элементам Q, i, ш и представляют
собой углы поворота плоскости орбиты вокруг осей х, у, г соответственно,
а - большая полуось, е - эксцентриситет, М0 - средняя аномалия в эпоху
