Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
[§ 1-02
Интеграл живых сил (интеграл энергии)
п- 1
Ш + ^ + &)=и + h'>
(4.1.06)
в интегралах (4.1.04) - (4.1.06) величины а2, Яз, Ь\, b2, Ь3, Ci, с2, с3,
Л - произвольные постоянные.
Интегралы (4.1.04) указывают на то, что центр масс системы движется
прямолинейно и равномерно относительно абсолютной системы координат. Из
(4.1.05) следует, что момент количества движения системы постоянен и по
величине и по направлению. Интеграл (4.1.06) выражает постоянство полной
энергии системы, так как функция {-U)-потенциальная энергия системы, а
левая часть равенства представляет собой кинетическую энергию системы.
Более подробно вопрос о существовании первых интегралов изложен в главе 2
части X.
Знание 10 первых интегралов позволяет понизить порядок системы (4.1.01)
на 10 единиц, после чего получится система порядка 6п- 10. Возможно
понизить порядок системы еще на две единицы благодаря тому, что в
уравнения движения время не входит явным образом и применима теорема
Якоби о последнем множителе [10].
Неизменяемая плоскость Лапласа - это плоскость, перпендикулярная к
моменту количества движения. Ее уравнение имеет вид
?о, tjoi ?о - координаты произвольной точки пространства (в качестве
таковой можно взять центр масс системы).
§ 1.02. Уравнение Лагранжа - Якоби
В качественных исследованиях часто используется соотношение (см. [3])
есть момент инерции системы относительно центра масс,
h* называется внутренней или барицентрической энергией,
Cl (I - !о) + Со(т1 - rij) + с3(? - 5о) = 0.
(4.1.07)
п- 1 п-1
1=0 1=о
п- 1
i=0
S 1.03]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ
291
Имеет место следующий вывод об устойчивости движений механической
системы. Если h* > 0, то по крайней мере одно из взаимных расстояний
между телами неограниченно возрастает при г->оо и, следовательно,
движения механической системы неустойчивы в смысле Лагранжа (см. ч. X, §
3.03). Если h* ^ 0, то возможны как устойчивые, так и неустойчивые в
смысле Лагранжа движения механической системы. Если система устойчива в
смысле Лагранжа, то ее потенциальная энергия на бесконечном промежутке
времени принимает бесконечное число раз значения, сколь угодно близкие к
2h*.
§ 1.03. Уравнения движения в барицентрических прямоугольных координатах
Пусть G - центр масс материальной системы, состоящей из п материальных
точек Р0, Pi.......Рп-и a I, fj, ?- его прямо-
угольные координаты в абсолютной системе 0|ri?, являющиеся линейными
функциями времени t. Пусть т]', ?, - барицентрические координаты точки
Тогда дифференциальны^ уравнения движения системы имеют вид
Очевидно, что интегралы движения центра масс удовлетворяются
тождественно, т. е.
но следует учесть, что координаты точек и их производные
(" = 0, 1, ..., п- 1),
П- 1 г?-I
(4.1.08)
Интегралы площадей и живых сил имеют вид
10*
292
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 1.04
связаны приведенными соотношениями. Другая форма интегра* лов уравнений
движения в барицентрических координатах, полученная в результате
понижения порядка системы на шесть единиц, дана в книге [1].
§ 1.04. Уравнения движения в координатах Якоби
Выберем следующим образом относительную систему координат:
1) проведем через точку Р0 оси координат, параллельные абсолютным
осям, и определим положение точки Pi в этой системе координатами х', у[,
z,;
2) проведем через центр масс Gi точек Р0 и Pi оси координат,
параллельные предыдущим, и определим положение точки Ръ относительно этой
системы координат координатами х'г, у'2, г'2ш, и вообще,
3) определим положение точки Я* координатами x'k, y'k, г'к,
отсчитываемыми в прямоугольной системе координат с осями, параллельными
предыдущим и проходящими через центр масс
точек Pq, Р\..../Vi (k - 2, 3.......л - 1) -точку Gft_b Ради
симметрии обозначений координаты точки Р0 относительно системы 0?ti?
обозначим через х', у'а, z'Q.
Выбранные таким образом прямоугольные координаты называются координатами
Якоби (см. [1], [3], [5]).
Введем величины ц,-, аи имеющие размерности массы и определяемые
равенствами
Но = ma, \ik-
/-о
(k=\, 2.....л-1).
(4.1.09)
(ij называются "приведенными массами".
Дифференциальные уравнения движения системы в координатах Якоби
записываются в форме
Hz
d xt dU
dt2 dx'
d% dU
ft. 1 dy'i
d2z\ dU
dt2 dz\
, 2. .. .. n-
(4.1.10)
§1.05]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ л ТЕЛ
293
Силовая функция U выражается формулой (4.1.02), но взаимные расстояния
A,-j должны быть выражены через координаты Якоби.
Взаимное расстояние Апри j > i выражается через координаты Якоби с
помощью формулы
Система (4.1.10) имеет четыре первых интеграла (интегралы площадей и
интеграл энергии):
где с', с'2, с'3, А' - произвольные постоянные интегрирования.
§ 1.05. Уравнения относительного движения
в прямоугольных координатах
Пусть выбрана прямоугольная система координат Poxyz с началом в точке Р0
и с осями, параллельными осям системы С?,г),?/ (§ 1-03). Такая система не
имеет общего названия, однако если точка Ро изображает Солнце, то система
