Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
tQ.
Приведем таблицу выражений для производных х, у, z по
Е\.....Е6 (табл. 42), где п - среднее движение,
гг_ г - а(1 +ед) " as Г. . г Л
п еа(1 - е2) ' л k2e \ а (1 - е2) )' (3.3.05)
S = XX + yy + ZZ.
В каждом столбце выписаны производные координат х, у, z по
соответствующему элементу: во втором столбце по Е\, в третьем столбце по
Ег и т. д.
Таблица 42
Ek E, E" Ei Es E,
dx 0 г -y X - у (f-<o) X Hx + Kx X n
dy dEk -z 0 X у - y(t~ta)y Hy + Ky y_ n
дг dEk У -X 0 z - Нг + Кг b n
Эта таблица является одновременно таблицей коэффициентов в формулах
(3.3.02) при соответствующих AEi, ..., АЕ6. Например, строка производных
дх/дЕь позволяет записать первую из формул (3.3.02) в виде (индекс i
опускаем)
Ах = гАЕ2-у АЕ3 + [х -| (* - *0) х] АЕ4 + (Нх+Кх) А?5+| АЕ6.
После вычисления поправок Aipi, Атрз можно найти поправки к значениям
обычных элементов Q, i, ш по формулам
где
Дсо sin i = A*, sin Q - Дф2 cos Q. Ai = Aift cos Q + А-ф2 sin Q, ДЯ = А^з
- Aco cos /,
Д-ф, = АЧ"!,
Aipa - Aifacos в + Aifo sine, > Атрз = - Агр^ sin в 4* A\j)3 cos e.
(3.3.06)
(3.3.07)
§ 3.02]
ГЛ. 3. УЛУЧШЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ОРБИТЫ
277
(Величины А'Фз суть поправки углов поворота плоско-
сти орбиты вокруг осей Ox, Оу, Oz эклиптической системы координат.)
Значения х, у, z находятся проще всего с помощью интерполяционных формул
(см. ч. VII, гл. 1) по таблицам прямоугольных координат, вычисленных для
равноотстоящих моментов времени.
2. В случае эллиптических орбит с малыми эксцентриситетами
используются параметры
= (i = l, 2, 3), Ei = \na, Е5 = е,
(3.3.08)
Е6 = Ма + ярз,
так что
ДEt = A^ (/ = 1, 2,3), Л?4 = 4г.
Д?5 = Де, Д?6 = АМ0 + Дф3.
Таблица для производных координат х, у, г по Е\, Е6 или же для
коэффициентов формул (3.2.02) отличается от табл. 42 только одним
столбцом, соответствующим ?3 = фз и приведенным в табл. 43.
3. При произвольных эксцентриситетах и наклонах эллиптических орбит
могут быть использованы параметры
Ei = р, Е2 = q, Е3 -г, ?4 = In а,
Es = e, Е6 = М0 + г, (3.3.09)
где р, q, г-компоненты вектора (\JJi,ip2>
^з) в системе координат х, у, z, плоскость ху которой совпадает с
плоскостью орбиты, а ось х направлена в ¦перигелий.
Соотношения между Ар, A q, А г и приращениями элементов ДЙ, At, Аа
следующие:
Дt = Ар cos со - Дq sin to, sin t Дй = Apsinco-f Д^соэю, f (3.3.10)
Дсо + cost ДЯ = Дг. )
дх
Производные .... даются в табл. 44.
Таблица 43
Е,
дх X
дЕ3 п У
ду дЕг -L п + *
дг t
дЕ3 п
278 Ч. III. МЕТОДЫ ОПРЕДЕЛЕНИЯ И УЛУЧШЕНИЯ ОРБИТ [§ 3.02
Таблица 44
Ек Я. Е, Е, Е. Ei
дх дЕк 1м. дЕк дг дЕк X tl У_ п i п Ру2-РгУ Ргх-Рхг РхУ-РуХ
QyZ~Qzy QzX-Qxz ЯхУ-QyX -~+^у2~^У ~-\-RgX-Rxz ~+Rxy-Ry* X-J
(t-t0) X У-J (t-to) У г-f-(*-<o) г Их:+Кх Ну+Ку Нг+Ki
где Рх, ¦ ¦ ¦. Qz - компоненты векторных элементов орбиты (см. § 1.04) и
Rx, Rv, Rz - направляющие косинусы перпендикуляра к орбите в
экваториальной системе координат. Соотношения
между Рх.......Rz и со, i, Я
выражаются формулами
(3.1.15), (3.2.46), (3.2.47).
4. При улучшении эллиптических или гиперболических орбит с
эксцентриситетом, близким к единице, используются параметры
Et = *t (/=1,2, 3), Е, = х, Еь - Ч> Ей = А = - ~,
(3.3.11)
где т - момент прохождения через перигелий, q = = а(1 - е) - перигелийное
расстояние и а - большая или действительная полуось. Величина h
представляет собой с точностью до множителя к2 постоянную энергии (для
гиперболы принимаем здесь а < 0).
Производные от х, у, z по (i = 1, 2, 3) те же, что и в табл. 42.
Производные по Et, Es, Е6 даются в табл. 45, где
п - 1 + + hr П' - _ Г/> (г + р)
V ер ' V k2ep *
и ^ -L______2__ и' _ JL п (t _ -и _ ппГУ
(3.3.12)
Таблица 45
Ек ' я. Et E,
дх Щк ду дЕк дг -X -у -i Qx+Q'x Qy+Q'y Qz+Q'2 Hx+H'x Hy+H'y Hz+H'z
р - параметр орбиты, т - гелиоцентрическое .расстояние, k2 произведение
постоянной тяготения на массу Солнца.
S 3.02] ГЛ. 3. УЛУЧШЕНИЕ ПЕРВОНАЧАЛЬНОЙ ОРБИТЫ 279
Так как е = 1 + qh, h = - то после нахождения Дq, Ah получим исправленные
значения а, е по формулам е = 1 + (q + Д?) (А + ДА), Да=>а2ДЛ.
5. Если предварительная орбита является параболической, а уточненная
орбита может быть как эллиптической, так и гиперболической, то
принимаются или те же параметры, что и в пункте 4, т. е.
?, = ",(/=1.2,3). Е4 - х, Е5 - q, E6 = h, (3.3.13)
или
Ei = ^i (t= 1, 2, 3), Ei = T, Es - q, E6 = e, (3.3.14)
с учетом, что для предварительной орбиты h - 0, е - 1.
После определения поправок Дq, Ah при использовании параметров (3.3.13)
находят е по формуле
е=1 + (q + Aq)Ah, (3.3.15)
так что при ДА < 0 уточненная орбита будет эллиптической, а при ДЛ > 0 -
гиперболической.
Значение а находят по формуле
а = -~. (3.3.16)
Выражения для производных х, у, г по т, q, Л записываются в том же виде,
что и в табл. 45, а величины Q, Q', Н, Н' вычисляются по формулам
Q=:l, Q' = - 2та -y/q (l +у).
H = j{r - q), Н' = jtnaq2(\ - а2 -
т = -4= = 41,1058431,
V2fe
причем а находится из уравнения
а+i03=ж <7"v, {t - т)- (3'3,18)
