Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
fl- I
X mi (рi cos - pikl sin A,,) = alt
i=o
П- 1
X mi (p, sin A,, + p,i( cos A,*) = a2> z=о
П- 1
t=o
я-I
X mtptcosA,t = ai/ + bu
1=0
n- 1
X mi9i sin К = a2t -f b2,
t=o
П- 1
? т& = а4 + Ьг.
(4.1.22)
Интегралы площадей-. п~1
? [P(t( sin hi - Si (Pi Sin A,, -f P(i, cos Я/)]
= Cl,
i=0
n- 1
? nil [Si (Pi cos hi - P/Л, sin k[) - p[it cos A,/] = c2, i=0
л-1
/5
i сз-
(4.1.23)
S 1.08] ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ
Интеграл энергии:
299
П- I
yZ mi (Рi + Р& + Ф = и + л. (4.1.24)
1=0
§ 1.08. Уравнения относительного движения в цилиндрических координатах
Формулы перехода от относительных прямоугольных координат х*, у,-, Z; к
относительным цилиндрическим координатам р,-, X,-, Zi имеют вид
Xi ~ р,- COS к/, yt = Pi sin Xi( 2,^=2;
(*¦=1, 2.....n-l).
Уравнения движения точек Pi, P2, ..., Pn-i относительно точки Р0
записываются следующим образом (см. [l])j
где
за.
Pi Рi4'~ oPi •
d ¦ dQ.
(P\\)=- 1
dt
dk
dQ.
dz,
f(mn + m.)
0| = ~ г +*i,
(4.1.25)
(4.1.26)
rt- 1
Г 1 Р'Р/cos (^ ~ */)+ z?i 1
=ffem'№ 5W J'
r? = P? + 2?V
= Pi + P* - 2p(Py cos (X, - x;.) -f (2, - Zjy.
(4.1.27)
(4.1.28)
(4.1.29)
300
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЙ
[| 1.08
Интегралы площадей в относительных цилиндрических оор-динатах:
п- 1
J] MtlPiZi sin(Pis'mki + cosЯ?)] -
ГП-1 п-1
~ i Z m'pi sin к' Z m'ii ~
L*=i
n- i n- l -j
- Z miZl Z m' ^ sin Xl + P'^' C0S ^ = c>1'
1=1 i=1 j
fl- 1
y1 mt \zt (p; cos Я, - рД, sin Л?) - p^z, cos A,*] -
/=i
Г11-1 Я-1
-i Z m'z' Z m< (p*cos ~Pi^sin ^ "
Li=.i /=i
n- 1
ft-1 fl-1 "I
- ^ cos X,- ^ = C2,
i=l i=I -I
Z mi&i ~
i=l
rn-1 fl-1
-- Z m'f>icosZ sinki+cos^~
L-r=i /=i
n-I n- 1 "l
- ^ mfpi sin Я; ^ (p/ cos \t - рД? sin Я?) I = Сз,
i=l (=1 -I
где
n-i
m=Yu mf
i=о
Интеграл живых сил:
T Z (P?+ P*^"+ 4D ~ IST { [z mi (p*cos Л< ~ P^1'sin Я^1 +
/=.1 *¦ Lix=1 J
+ ^ mi (pi sin Л| + р,Л.1 cos Л1)] + (Z m;i') } = f/+A',
(4.1.30)
(4.1.31)
где cj, C2, Сз, А' - произвольные постоянные.
$ 1.09]
ГЛ. I. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ П ТЕЛ
301
§ 1.09. Уравнения абсолютного движения в сферических координатах
Перейдем от абсолютных прямоугольных координат т],-, к сферическим
координатам по формулам
li = rt cos ф, cos Я,, n\i = ricos(flsinXl,
Г (4.1.32)
Si = ГI sin ф4
{1 = 0, 1......n- 1).
где Ti - радиус-вектор точки Pit - долгота точки Р*, ф< - угол между
радиусом-вектором г* и плоскостью 0?т].
В абсолютных сферических координатах уравнения движения системы имеют
такой вид [1]:
ди
mi ift - rM ~ rMcos2 Ф|)= -w; mi [4t (ri(i,i) + sl'n 4*1 cos ф<] = Wt
cos2
(i = 0, 1..............n- 1).
(4.1.33)
Силовая функция равна
П- 1 ГС-1
1 г V4 V4' mimf
i=, о /=0
где
b2u = r2l + r* - 2rirjcosyir (4.1.34)
cos Yi/ = sin фi sin ф/ -f cos ф/ cos фу cos - Kj), (4.1.35)
a Yfj - угол, образованный радиусами-векторами г* и г,-.
Система дифференциальных уравнений движения п тел (4.1.33) имеет 10
известных первых интегралов.
302
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Г§ 1.10
Интегралы движения центра масс:
ft-1
Yi fUiih cos ф; cos Л* - r^jsi^cos^-ri^cosqpjsin^) = au i=0
n-1
Y, rtiiifiCosyi sinA/ - л^этф; sin A,--f /^А/СОЭф^обА;) = a2,
1=0
n-1
?
i=0
? mt (ri sin <P; -f Г,ф, cos <р,-) = o3,
T -1
? cos ф; cos A; =
i=0
n-1
? cos ф; sin A= a2/ -f 62>
i=0
fl----------1
? m/i sin ф{ = a3<4 63.
i=0
(4.1.36)
Интегралы площадей:
П~ I
И га,г? (ф? sin А, - A. cos ф. sin qp, cos A.) = cp
i= о
ri-i
i=0
? miri (Ф; cos ^ cos Ф[ s'n Ф; s^n ^i) - - c2,
/1-1
? /п^?А; соб2ф1. - c3.
(4.1.37)
Интеграл энергии:
n-1
1
1=0
T Z 1711 ('l + + ri^2 C0s2 = ^ + h• (4-1 -38)
Как и раньше, aj, a2, "з, Ьь Ь2) Ь3, си с2, с3, h - произвольные
постоянные.
§ 1.10. Уравнения относительного движения в сферических координатах
Пусть точка Р0 является началом системы координат Рйхуг. Введем
сферические координаты ги Афi (rt - расстояние точки Pi (i = 1, 2, . . .,
п - 1) от точки Р0, А,- - долгота точки Pi, т. е. угол, образованный
положительным направлением оси Рох
S 1.10]
ГЛ. 1. УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ
303
и проекцией п на плоскость Роху, ф* - угол между г* и плоскостью Роху).
Формулы преобразования координат будут
Xi === Гj COS COS Я;,
yt - гi cos фj sin Я,,
Zi = 'i sin Ф*
0'= 1, 2..............n- 1).
(4.1.39)
Уравнения движения точек Pu P2, ..., Pn-i относительно точки Pq в
координатах г, ф, Я имеют следующий вид [1]:
fi~ri cos2q>,=
<3Q
дг
d . dQ
dr(r^) + r^isin(Pi c0S(P' = ^
d . ¦ " ¦^faVco 8Ч) = Ж
(i= 1, 2, ..n - 1),
П- I
(4.1.40)
* /=i л/ / A?/ = r? + r/ ~ 2rir/ C0SY cosУ(/ = з!пф;зтф/ -f- соэф^оэф/
cos(Яг - Я/).
(4.1.41)
Четыре первых интеграла системы (4.1.40) (три интеграла площадей и
интеграл энергии) записываются следующим образом:
Л-1
*=1
т
^ /п(г' (ф; sin Я; - Я, sin ф; cos ф, cos Я,) -
п-1 п-1
? rrifi cos ф; sin Я,
(=1
П- 1 п-1
^ т,-г( sin ф,-^ т,(Г|С05ф,8т Яг-
Li=.l
/=1
( = 1
- г(ф; sin ф; sin \i + rikl cos ф, cos Я;)] = c[,
(4.1.42)
on SJ
\Ч + П = (,[ ('db sod ?ф U + ?(b u!s *4),w ,I] +
