Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
а^' = 81Пф. sin'frp
ai2 = " s*n Ф| cos ~ cos Ф( s*n 'I'i cos 4У - " 8тф. sini^ + cosф{cosi^
cosf)^, (4.2.01) a$ - cos ф, sin ft,, a^^sinifysinfy, a$ = - cos iJj, sin
ft,, a^ - cos&,.
Пусть pit qu Ki - проекции абсолютной угловой скорости вращения тела Mi
на оси координат ?', т)', ?'г Величины
s 2.02] ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 323
Pi, Чи ri связаны с углами Эйлера кинематическими уравнениями Эйлера
§ 2.02. Силовая функция системы тел
Обозначим через f/;j силовую функцию взаимного притяжения (или взаимный
потенциал) тел М? и Мj. Из теории потенциала известно [10], что
Здесь Д,;- - взаимное расстояние между частицами тел и Mj, отличное от
нуля, если тела Mj и Mj не имеют общей части. Силовая функция Uij
является функцией 12 переменных: т],-,
?i> ЛУ' Ф*> Фл
Для фактического выражения в виде явной функции этих
12 переменных приходится пользоваться разложением в ряд
сительно разностей координат центров масс G* и G, с коэффициентами,
зависящими от углов Эйлера.
В частности,
(rtii - масса тела Af,-, rrij- масса тела Mj), если тела М{ и Mj обладают
тремя взаимно перпендикулярными плоскостями симметрии, а оси симметрии,
являющиеся одновременно главными центральными осями инерции, приняты за
оси собственных систем координат. В формуле (4.2.05) Bs, Ca (Szs=i,j)-'
Pi = ijji sing)* sinft? + ¦Qi cosqp,, qt - ijj, cos ф( sin ¦fl'; - ¦й'г
sin ф;, ri = "Фi cos ¦0,i -f- ф(
(4.2.02)
(i = 0, 1, ..., n- 1).
(4.2.03)
Коэффициенты разложения ufj суть целые многочлены отно-
U?i -m^j, = 0,
Щ = 4 *?, ["*. (А, + в, + С,- з/"¦ Л) +
+ т1(д1 + в,+с,-з;''-")]
\
>
(4.2.05)
324 Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ |§ 2.03
главные, центральные моменты инерции тел, а п - момент инерции тела Ms
относительно прямой, проходящей через центры масс Gi и Gj.
Силовая функция системы тел представляется формулой [11]
ft-1 Л-I
^=42 (4-2-06)
1=0 /=0 1Ф1
Она зависит от бгс переменных: т],-, ф,-, (i = 0,1, ...
..., п- 1).
§ 2.03. Разложение силовой функции двух тел
Г. Н. Дубошиным получена [1] явная форма разложения силовой функции двух
тел М[ и М2 с массами т\ и т2. Силовая функция (4.2.03) для случая двух
тел может быть написана в виде
U = f И , (4.2.07)
(М.) (М.)
где Д - взаимное расстояние между частицами тел М\ и М2. Имеет место
следующее разложение:
оо
и = <4-2-08>
fc=0
(4.2.09)
с/3?1* *" *з) = ? к" кг' ,ь s,) X y'i" *"s,), (4.2.10)
Si+S2+Sa=fc
3^ S" s,)= SS " - 4T (y\ - УТ " - ZT dmT (4.2.11)
(M.) (M,)
Функция Uk является гармоническим многочленом относительно разностей
координат.
В формулах (4.2.08) - (4.2.11) использованы следующие обозначения.
1) R - расстояние между центрами масс тел Afi и М2, точками Gi и G2 с
прямоугольными координатами ?i, rji, ?i и ?2, т|2, t,2 соответственно в
неподвижной прямоугольной системе координат 0|т]^.
2) A'k" kl'ft,: !l'Sr s,) - численные коэффициенты, зависящие в
конечном счете от коэффициентов полиномов Лежандра и коэффициентов
биномиальных выражений,
9 2.03] ГЛ. 2. УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 325
3) Переменные х' - х'2, у[ - у'2, г\ - z2 выражаются через координаты
элемента (xj, у{, z{) (i =1,2) в собственной си-: стеме координат тела Mi
(i = 1,2) с началом в G, (/= 1,2) и через а^> - косинусы углов,
образуемых собственными осями тел с осями системы Ogri? по формулам
х'~х2 = (ai\)xi + а(.2Ч + a(i3zi) - ".Ч + апУг + ai3z2)>
У[-У2 = (4l* 1 + "иЧ + Q23Zl) - "*2 + <414 + 4зЧ)*
г\ - г2 = Оз'Ч + °32 УI + a332t) - (Q3l*2 + а32^2 + G33Z2)-
Ряд (4.2.08) сходится абсолютно и равномерно, если R > RГ+ ^?2. где (i =
1,2)- максимальное из расстояний от центра масс тела Mit точки до его
поверхности.
Вычисление величин (4.2.11) сводится к вычислению интегралов вида
*j) = С xsiiysi'zl1dmi, (4.2.12)
(Mi)
представляющих постоянные параметры для тела М,.
Если тело Mi имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии,
пересекающиеся в центре масс G{, то линии пересечения этих плоскостей
суть его главные оси инерции и всякий интеграл (4.2.12) равен нулю, если
хотя бы одно из чисел Si, S2, s3 является нечетным. Если оба тела
обладают такой симметрией, то тогда U2h+i = 0 и разложение (4.2.08)
принимает вид
оо
4-0
где однородный многочлен U2h относительно г)*, t,i степени 2k содержит
только четные степени этих переменных.
Предположим, что собственные оси координат тела М( совпадают с главными
осями инерции. Тогда первые три коэффициента разложения (4.2.08)
выражаются формулами
С/0 = т1т2,
U, = 0,
U2 = (А2 + В2 + С2- 3ЗУ Ч- (А, + В, + С, - ЪЗ?,).
где Ait Bit Ci (i =1,2) - главные, центральные моменты инерции тела Mit -
момент инерции тела М{ (i = 1, 2) относительно прямой G\G2:
y^Atf + Btf + Ctf (i=l, 2),
326
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
" 2-04
">. Р>. yt- косинусы углов, образуемых прямой G\Gz с направлениями
собственных осей тела:
а __ ат ^ ~ ^ _1_ п(О З2 ~ *]> 4. MD & ~ Si
i "ll If ' Ы21 If i "31 Jf
a = a(,) 4.
Pi 12 # '
Л2 - Л1
22
