Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
(=0
введем соответствующие обобщенные импульсы tj*
ф)> ^ с помощью формул дТ L дТ
dh
дТ
т). = -= т(т);, 0*1,
дт У
dit
"фТ = -- =AiPi sm sin cos ф^ sinfy-l-CV; cos G,-,
dtyi
dT n ^ = Зф; = С'Г''
1 dftt
(4.2.25)
AiPi cos ф,- - Brfi sin ф,
(f = 0, 1....n-1).
В этих переменных уравнения поступательно-вращательного движения системы
п тел М0, Mi, ..., ЛА"_i имеют такой вид:
dli dH dt] dH
dt dl\ ' dt
dr\i dH dT]] dH
dt Эти ' dt dt\i
dh dH < dH
dt dt\ ' dt Ki
d$i дН 43 dH
dt ' dt d$i
d<f[ dH dtp] dH
dt "Эф г dt dq>i
d&i dH dH
dt дЪ] ' dt dQt
{1 = 0, 1, ..., n - 1),
(4.2.26)
S 2.06] ГЛ, 2. УРАВНЕНИЯ ПОСТУПАТЕЛЬНО-ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ 331
где гамильтониан
причем кинетическая энергия Т выражается через импульсы формулой
Л- I
г'=4ЕЫ7Й'+ч',!+0+
1=0 '
+ C0S^ (-ф'зхп ф, - ф* cos ф( cos ftt + ft* cos ф. sin ft,)2 +
4- C°-S^ (TjiJ COS ф; - Ф; cos Ф, cos ft, - ft! sin Ф; sin ft,)2 + cpf
].
Система уравнений (4.2.26) имеет десять первых интегралов, которые можно
получить из (4.2.19) - (4.2.21) заменой скоростей импульсами по формулам
/ 1 bt • 1 ¦ €. 1 ".*
ТЬ=='тГ1ГЬ' ** ~ ~гп7 (r)г'
cosec Ф* / ¦ t • ¦ • л I гч t • л \
р. = -- (я|>. sm ф, - ф. sin ф, cos-0*. + cos ф, sin и-.),
qt = - SJ^ - (ф* cos фг - ф) cos ф( cos ft, - ft* sin ф, sin ft,),
ri - Ci ф<
(i = 0, 1................n- 1).
(4.2.27)
Аналогично можно написать в канонической форме и дифференциальные
уравнения поступательно-вращательного относительного движения системы п
тел.
Глава 3
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ
СИСТЕМ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ
В главе 3 рассматриваются дифференциальные уравнения возмущенного
движения одного тела, получающиеся методом вариации произвольных
постоянных. Приводятся различные формы уравнений для различных систем
оскулирующих элементов. Рассмотрены случаи потенциальных и
непотенциальных возмущающих сил. Приведены канонические формы уравнений
возмущенного движения. Приведенные формы уравнений движения используются
как в классической небесной механике, так и в астродинамике. Различные
способы выводов этих уравнений даются в [1] - [7].
§ 3.01. Метод Лагранжа вариации произвольных постоянных
Пусть точка Р движется в пространстве под действием притяжения некоторого
центрального тела Р0 и добавочной возмущающей силы, являющейся
произвольной функцией времени, положения и скорости движущейся точки.
Обозначим через х, у, z прямоугольные координаты точки Р в системе
координат Poxyz с неизменными направлениями осей, через Хо, Уо, Zq-
проекции ускорения, вызываемого действием силы притяжения точки Р
центральным телом Pq, через X, У, Z - проекции возмущающего ускорения.
Тогда дифференциальные уравнения движения точки в выбранной системе
координат имеют вид
?±- = Х0 + Х, -§- = У0 + У, tL^Zo + Z. (4.3.01)
Если Pq - материальная точка или шар со сферическим распределением
плотностей, то
y _ у______НУ 7______Jill
- . У 0- г. . *>- . I (4 3 02)
Г2 = Х2 + г/* + г2, = / (m -h т0), )
§ 3.0Ц ГЛ. 3. УРАВНЕНИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА 333
где f - постоянная тяготения, т - масса точки Р, т0 - масса, тела Р0.
Если положить X = О, У = О, Z = 0, то система (4.3.01) обращается в
систему уравнений невозмущенного кеплеровского движения
d-x dt2
\ах
d2y
W
НУ
d2z
dt2
Hz ,з >
(4.3.03)
общее решение которой выражается равенствами
x = ra> ^r==/\Jj [ctesinu + -^-(1 + ecosa)], y = r$, 4f- = V'p [Pesino
+ |J-(l +ecosw)],
z = r\, = д/i [Yeslnu+-?-(l + ecosa)],
1 + e cos u '
a = cos и cos Q - sin и sin Q cos i, P = cos и sin Q + sin и cos Й cos i,
Y = sinusini, u = a + co,
V
dX
t
Vu J 0 + e cos k)2 ? ^ о
(4.3.04)
Общее решение (4.3.04) уравнений невозмущенного движения зависит от шести
произвольных постоянных, например, Я, i, со, а (или р), е, т (или М0) для
эллиптического движения (см. ч. II, гл. 1, 2).
Согласно методу Лагранжа решение уравнений (4.3.01) отыскивается в том же
виде (4.3.04), что и решение невозмущенной системы, лишь с той разницей,
что Я, i, со, р, е, т рассматриваются в формулах (4.3.04) не как
постоянные, а как функции времени, определяемые таким образом, чтобы
удовлетворялись уравнения возмущенного движения (4.3.01).
Следовательно, формулы (4.3.04) можно рассматривать как формулы перехода
от старых переменных х, у, г, х, у, г к новым переменным Я(0. *(0> ш(0>
Р(0. е(0. т(0-
Если такую замену осуществить, то вместо дифференциальных уравнений
возмущенного движения (4.3.01) будем иметь
334
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 3.02
новую систему дифференциальных уравнений dQ
= F ь
dP _ р dt
de
dt
di ________ p ________________________p
dt 2' dt ~~rs'
rfto ______ " dx
dt 3' ~
dt
6>
(4.3.05)
где
Ft = Ft (t, Q, i, со, p, e, t) (t =
1.............................................................6),
равносильную системе (4.3.01).
Траектория возмущенного движения в каждый момент времени соприкасается с
траекторией невозмущенного движения для этого же момента и представляет
