Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Pk = ak(l~el)> Bk = Ilk + MQk, nk =
M,
k - e* - nk + ^ nfc dt,
dM,
oft
dM,
Ok
dn.
dt
dt
(4.4.04)
(4.4.05)
Здесь Mok - средняя аномалия точки Ph в эпоху, Мк - возмущенная средняя
аномалия точки /V
Замечание. Может встретиться случай, когда движение одних тел принадлежит
к эллиптическому типу, а движение других не принадлежит к этому типу. В
таком случае возможно сочетание уравнений (4.4.01) и (4.4.04). К такого
типа движениям относятся межпланетные полеты, а также движения р
некоторых кратных звездных система*,
350 ч- IV- ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [$ 4.04
§ 4.03. Уравнения Лагранжа для кеплеровских оскулирующих элементов (общий
случай)
Если возмущающие силы потенциальны, т. е.
у _ тг __ dRk у dRk
Лк~ дхк ' 1к~ дук ' dzk '
то вместо уравнений Ньютона (4.4.01) обычно используются уравнения
Лагранжа:
dpk ^ 2 dRk dt д/ц* dak '
dek 1 - e\ dRk pk dRk
dt dak ^kek drk '
dlk _ 1 dRk | cosik dRk dt л/^кРк siniA dQk V*1kpk Sin lk dak'
dQk _ 1 dRk } (4.4.06)
dt VlV*s,Il/* dik '
d(r)k _________cos ik dRk 2 Vp7 dRk | 1 ~ el dR*
dt д/ihPks[nikdik dPk ek^V-kPk dek'
drk _ p dRk
dt - iikek ~щ;
{k=\,2.......n - I).
Связь между оскулирующими элементами и относительными прямоугольными
координатами точек Р\, Рг, • ¦ •. Pn-1 выражается формулами (4.4.03).
§ 4-04. Уравнения Лагранжа для эллиптических кеплеровских оскулирующих
элементов
Для исследования движений эллиптического типа при наличии возмущающих
функций удобнее пользоваться следующими уравнениями Лагранжа:
dak 2 dRk
g 4.05] ГЛ. 4, ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 351
dik
dt
пка\ л/1
dRh
~Т ¦ ¦ еь sirnb k
dQk
dt
dnk
dt
dEk
dt
nka\ V1
e\ sin ik " k
tg
_ 2 (dRk _L dRk\
_ "1.1, л Ian. ' de..)'
nkak V 1 - ek k
dRk dl" '
tg_# 3Rh V1-** dRk
nka\ 1
e\ dik
nAek dek '
2 dRk
b-t
nkak dab
пка\ V1
dR. r^ +
"2 dib ek k
+ ¦
ek
•\] l-i
dRt
nAb + ^1 ~el) de*
(k= 1, 2......n- 1),
(4.4.07)
дополненными соотношениями (4.4.05), если необходимо найти другие
характеристики оскулирующей орбиты.
Заметим, что оскулирующие элементы, определяемые уравнениями (4.4.07),
отнесены к системе координат Рохуг. Как и в предыдущих параграфах,
возмущающие функции Rk должны быть представлены в виде явных функций
элементов ah, еh, ih,
Я/i, &h'
Если движение тела Р0 в пространстве известно, то с помощью формул
(4.4.03), дающих относительные прямоугольные координаты тел Pi, Р2, ¦ ¦
¦, Рп-и и с помощью формул преобразования координат можно найти положение
всех Ph (&=0, 1, ,.. п- 1) тел системы в абсолютной системе координат.
§ 4.05. Уравнения возмущенного движения в канонических элементах Якоби
В § 3.06 приведены дифференциальные уравнения относительного возмущенного
движения одного тела, записанные в канонических элементах Якоби.
Аналогично можно написать канонические уравнения возмущенного движения
тел Pi, Р2, ¦.., Pn-i относительно тела Р0, используя канонические
элементы Якоби (см. § 3.06) aih, a2h, a3h, Pib, Ргь, Рзь тела Ph (k=\, 2,
.,n - 1).
352
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЙ
14 4.03
Эти уравнения имеют вид
dcLik dU d&2k
dU*
daZk
dU*
dt apife'
dPife _ dU* dt
dt
d$2k
dhk ' dW
dt
dfak
dhk '
dU\
da3k
(4.4.08)
da it * dt да^ь ' dt
(ft - 1. 2, .. n - 1),
где возмущающая функция U* (при наличии сил взаимного ньютоновского
притяжения) выражается через прямоугольные яко-биевы координаты формулой
+ ^ (4.4.09)
W rj 2 fa Д"
/ч4"
Взаимные расстояния Д0й и Дч- выражаются формулами (4.1.10)
/2 /2 I I /2
г* =4 + 2*'
(4.4.10)
Связь между каноническими элементами Якоби и кеплеров* скими элементами
относительного движения (начало координат основной координатной системы
совпадает с точкой Ро) дается равенствами
Ctlft
-о
2 "kph Pu=
°2азft=cos
Pi* -1
mk°k-\
Рз4 -
k
• <3k = Y;ml
/=0
(4.4.11)
(k = 1, 2......n- 1).
Для движений эллиптического типа удобнее воспользоваться соотношениями
а1к= -
I1*
Pi*-----------U
ak~nk
2Hak '
"2ft = V^Qft(1 -"*)• = Я* " fiA-
"sh^V^AO -3) cosik> Рза = йа"
(4.4.12)
nk
=J-J4
Pk V "I
(ft = l, 2, ..., n - 1).
s 4.07] ГЛ, 4. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЗАДАЧИ п ТЕЛ 353
§ 4.06. Уравнения возмущенного движения в канонических элементах Делоне
Для описания относительного движения точек Pi, Р2........Рп-1
(см. § 4.05) можно использовать также канонические элементы Делоне Lh,
Gh, Hh, lh, gh, hh (k = 1, 2....л - 1) (cm. § 3.07):
Gk = V" eD ' sk = 4 -ffk = 's/vLkak(,l~^k)cosik> hk = Qk,
k = nk(t - Tfe),
(k= I, 2, ..n-Введем гамильтониан
Л -1
.2
V-k
r*,
nk = -1).
M-A
(4.4.13)
(4.4.14)
jt=i
где возмущающая функция U* выражается равенством (4.4.09).
Тогда уравнения для элементов Делоне примут канонический вид
dLk dF dGk dF dH k dF
dt dt dsk' dt dhk ¦
dlk dF dsk dF dhk dF
dt dLk ' dt dGk ' dt dHk
(k = 1, 2, . .., n - 1).
(4.4.15)
Эти уравнения описывают относительные движения, поскольку кеплеровские
оскулирующие элементы отнесены к координатной-системе Poxyz.
§ 4.07. Две системы канонических элементов Пуанкаре
