Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
is, Я", переменные Ла-гранжа hs, ks, рв, qs. Тогда уравнения возмущенного
движения системы материальных точек Р\, Рц....Рп-1 относительно Ро
358
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 4.10
в переменных as, hs, ps, qs, ks, es имеют вид
das__________________2_ dRs
dt nsas des '
dhs д/l - h] - ft;
dt
(d*s_____________К dRs\
\dks 1 + д/l - Л| - к] )
ks(\ +p] + q*)
rtsas V1 - ^ ~ ks 1 + V1 + p's + ?s
dps (l +Ps + ?DV' dRs
с
Ps
dR,
dps
dqs)'
dt Vi -
PsO + Ps + ?s)
P,M+P, + gs) dJ^_h dh^d_Rs\
nAл/Г^Я(i+Vi+pf+^) 5 ^ **¦ dJ '
0 +P? + ^)Vl dRs
dls
9*0 + p\ + <7s)
dkL dt
Qs^ + Ps + Qs) (, ад,. ад, , адл л/i O+лЛ+рМ) ^ 5Лл j a*s dBs)'
V1 -A? - *
n,a*
л*0 + P? +
"jelV1-*!-*! l+V1+Pi+fl'i
des 2 57?,
(Мщ ¦ **
V dhs 1 + д/1 _ h] - % des )
1 ( dRs dRs\
\P* dvs dqs)'
dt nsas das
1 +j
•f
+
1 +р] + я]
nsal V1 - A* ~ 1 V1 P2s + Я.
д/l- A
ь2-а"
/ ал, <злл
V 5 dps dqs )
(u dR< _Lfc адЛ
V** dhs s dks)
(4.4.25)
(s= 1, 2....n - 1)
В уравнениях (4.4.25) необходимо выразить возмущающие функции Rs через
as, hs, ps, q", ks, es и t.
В заключение укажем, что и в случае многих материальных точек связь между
каноническими элементами Пуанкаре (4.4.16) и (4.4.17) и переменными
Лагранжа fts, ks, ps, qs выражается приближенными равенствами (4.3.32).
Глава 5
СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
В задачах небесной механики и динамики космического nd-лета весьма часто
приходится пользоваться специальными функциями. К их числу относятся
эллиптические функции Якоби, функции Бесселя, сферические функции,
гипергеометрические функции и т. д.
Функции Бесселя нашли применение в разложениях координат невозмущенного
кеплеровского движения (см. ч. II, гл. 3), в теории движения ИСЗ в
сопротивляющейся среде (см. ч. VI, гл. 2). Сферические функции и, в
частности, полиномы Лежандра используются в теории притяжения (см. ч. VI,
гл. 1). Большие удобства дает применение гипергеометрической функции при
разложении возмущающей функции в классических задачах небесной механики
(см. гл. 6). Через эллиптические функции Якоби выражается решение задачи
о движении ИСЗ с учетом возмущений от фигуры Земли [19].
В этой главе содержатся основные сведения из теории специальных функций.
Дополнительные сведения можно найти в учебных пособиях и монографиях [13]
- [16]. Кроме того, можно рекомендовать таблицы и справочные руководства
И. С. Градштейна и И. М. Рыжика [17], А. М. Журавского [18], Е. Янке и Ф.
Эмде [19].
§ 5.01. Эллиптические интегралы
и эллиптические функции
Определение. Эллиптическим интегралом 1 -го рода называется функция
Ф sin Ф
ц = Р(ф, &) = ( dk ¦=-=¦ [ -7..................... dx - = . (4.5.01)
J У1 - й- sin2 Л J У(1-**)(! -кгхг) '
360
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[$ 6.01
Величина k называется модулем эллиптического интеграла. Величина k' = V1
- k2 называется дополнительным модулем. Целесообразно рассматривать лишь
0^&<:1 и 0<4'< 1.
Определение. Эллиптическим интегралом 2-го рода называется функция
Ф sin ф
?(ф, 5 dx. (4.5.02)
о о * х
Определение. Эллиптическим интегралом 3-го рода на* Зывается функция
Ф
П (ф, п, k) = f ---: J (1 + л si
dk
о
sin Ф
(1 + я sin2 Л) Vl - ft2 sin2 Я ф
f ¦¦¦ - ¦ . (4.5.03)
J (1 + nx2lV(l - x2) (1 - k2xг)
Величина n - параметр эллиптического интеграла 3-го рода. Полный
эллиптический интеграл 1-го рода:
K{k) = F(~, feY= [ -7=.^- . (4.5.04)
42 J J Vi - k2 sin2 X 4 '
Полный эллиптический интеграл 2-го рода:
Я
~9
E(k) = E(j, ft) = 5 Vl-^sinUdX. (4.5.05)
Полный эллиптический интеграл 3-го рода:
9 6.01]
ГЛ. S. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
361
Функциональные соотношения для эллиптических интегралов: F(- ф, k) = - F
(ф, k),
Е(- Ф, k) = - Е (ф, k),
F {пп ± ф, k) = 2пК (k) ± F (ф, k),
Е (пп ± ф, k) = 2пЕ (k) ± Е (ф, k),
dF (ф, k) 1 (E{$,k)-k'tFto,k)
dk k'1 V k
dK{k) __ E(k) K(k)
dk kk,s k '
дЕ (Ф> k) E (ф, k) - F (ф, k)
dk k
dE(k) E(k)-K(k)
(4.5.07)
(4.5.08)
dk k
В приложениях часто используются следующие тригонометрические и степенные
разложения:
2 ( 2 F(ф, k) = - K (k) ф - sinф cosф(а0 + -g aj sin2 ф +
+ |^-g-a2sin4+
2 " ... , Г(2п- 1)1112 ,2n
a0 - л К (ft) 11 &п (r),п-\ L 2nn\ J
E{ф, k) = yE(k)<p - втфсоэф^о +-|6,sin^ +
+ frf b2 sin4 Ф +
При k близком к 1 удобнее пользоваться разложениями
р(Ф, *)=!*(*') in tg(f+^)_
-7^(с""4с'^2(р + |т|-с2^4ф- ¦¦¦)•
c0 = ^K(k')-l, cn = Cn-1-[(2ra2~,1)"]2fe/2n.
?(Ф, k) = 4 E (iV) In tg (f + 5) + (4-5.09)
+ ^0*о-|<м&2ф + Йг<м&4ф-
2 ж,,игу , j r(2n-l)!!f k'2n
do-nE(k) 1, dn - dn-{ [ 2"nl J 2n_j,
(2n - I)!! = 1 -3-5... (2n-l).
362
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 6.01
Для полных эллиптических интегралов 1-го и 2-го рода имеются разложения
К (к) E(k)
-ib+zpsrM-
' n=-l '
_Я I, г(2n_ 1)П12 *2" 1
" 2 I 1 L, L 2nnl J 2/1-1 I '
** П=5=1 '
ko=k.
Введем обозначения:
М*) = $
x2n dx
H,
V(1 -*2)(1 -k2x2) '
w = \
J (x2-,
(x2 - a)m V(1 - *2) (1 - k2x2)
(я = 0, 1, 2, ...; m= 1, 2, ...).
(4.5.10)
Функции Ln(x) и Hm(x) удовлетворяют рекуррентным соотношениям
