Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
(а, п) (р, я)
(4.5.24)
(4.5.25)
г? /_ а ... V1 (а> п) (Р* п) ~п
F(a, р, у, г) 2_! '
(4.5.26)
п=0
§ 5.02]
ГЛ. 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
367
называется гипергеометрическим рядом. Величины а, р, у, г называются
соответственно 1-м, 2-м, 3-м и 4-м элементами ряда. Гипергеометрический
ряд является целым рядом относительно комплексного переменного г, рядом
многочленов относительно а и р.
При любых комплексных числах а, р, y (за исключением двух случаев: а) у -
нуль или целое отрицательное число; б) у и а или у и р - нули или целые
отрицательные числа) ряд (4.5.26) абсолютно сходится внутри единичного
круга |z|< 1. На границе единичного круга |zj= 1 ряд (4.5.26) абсолютно
сходится, если Re (у - а - р) > 0, условно сходится (за исключением точки
г = 1), если - 1 < Re(\ - а - Р) ^ 0, и расходится, если Re (у - а - р) <
-1.
О п р еде л е н и е. Многозначная функция комплексного переменного г,
обозначаемая F(a, р, у, г), являющаяся аналитическим продолжением ряда
(4.5.26); называется гипергеометриче-ской функцией [15].
Гипергеометрическая функция F(а, р, у, г) удовлетворяет линейному
дифференциальному уравнению
Z(l-Z)-g^ + [Y-(a +р+1)2]-^-ара; = 0, (4.5.27)
которое называется дифференциальным уравнением Гаусса, или
гипергеометрическим уравнением.
Решение гипергеометрического уравнения (4.5.27) голоморфно на всей
плоскости 2, за исключением, быть может, точек z = 0, z=l,z = оо, которые
являются регулярными особыми точками. Если ни одно из чисел у> " - Р> Y -
а - Р не является нулем или целым числом, то в окрестности каждой из
особых точек существуют два линейно независимых регулярных решения.
Разложения этих решений в окрестности особой точки 2 = 0 имеют вид
w2 (z) = 21 VF (a + 1 - у, p + 1
В окрестности особой точки z = 1 решения гипергеометрического уравнения
(4.5.27) представляются гипергеометрическими рядами
ю3 (2) = F (а, р, 1 + a + р - у \ 1 - г), wi(z) = {l - г)у~а~* F(y- р, у
- а,1 + у - a - (J; 1-2).
¦а -в; 1-г). 1
(4.5.29)
Согласно сказанному ряды (4.5.28) и (4.5.29) абсолютно Сходятся внутри
кругов |г|<1 и |г-1|<1 соответственно.
368
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Г§ 5.03
В окрестности особой точки z = оо имеем следующие два регулярных решения:
w5 (z) = z~aF (а, 1 + а - Y, 1 -f а - Р; у) . иу6 (z) = z~^F (р, 1 + р -
Y, 1 + р - а; у) ,
(4.5.30)
абсолютно сходящиеся при |z|> 1. Все известные 24 решения
гипергеометрического уравнения (таблица Куммера) можно найти в книге
[15].
Приведем выражения некоторых элементарных функций через
гипергеометрический ряд [17]:
(1 - z)-a = F (а, р, р; г), tzn = F( 1, 1, 1; г),
п~ 0
lnT^7 = 2f(l, 1, 2, z), arcsinz = zf(y, у, -f, z2), arctg z = zF (y, 1,
|; - z2), cos (k arcsin z) = F (y, y; z2) ,
(4.5.31)
f - - d(p - = iLp(L _L i•
J Vl - A2 sin2 ф 2 V 2 ' 2 ' ' У'
71
*2
J Vl - ?2sin2<prfqp = -y T' T' 1; k*)'
В небесной механике и астродинамике чаще всего встречается
гипергеометрический ряд с вещественным аргументом, который в дальнейшем
будем обозначать буквой х.
§ 5.03. Полиномы Лежандра. Функции Лежандра
Определение. Полиномами Лежандра называются многочлены п-й степени
(-я, и V")
(4.5.32)
§ 5.03]
ГЛ. 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
369
Весьма распространено следующее представление для полиномов Лежандра
(формула Родрига):
РЛх) = ^-?п[{х*-1П (4-5.33)
Из предыдущей формулы имеем, в частности:
Ро(*)=1.
Р\ м =
Р2(х)=1 (3x2-1),
Рз(*) = у(5х3-3;0. (4.5.34)
Pi М = у (35л:4 - ЗО*2 + ЗД
М = -у (63x5 - 70*3 + 15л:).
Ес?и х = cos 0, то получаем
Рп (cos е) = [cos п6 + Т ¦ ^г=тcos (" " 2) 9 +
+
1 2п - 1
1 -3 п(п- 1)
2-4 (2п - 1) (2п - 3)
COS
Р0 (cos 0) = 1, Pi (cos 0) = COS 0,
P2 (cos 0) = - j (3 cos 20 + 1), P3 (cos 0) = -j (5 cos 30 + 3 cos 0), Pi
(cos 6) = -^4 (35 cos 40 + 20 cos 20 + 9),
P5 (cos 0) = (63 cos 50 + 36 cos 30 + 30 cos
0).
Кроме того, применяется интегральное представление Лапласа
П
Рп (х) - 'Tf ^ С*. ± -у/х2 -~\ cos ф)" dq>, (4.5.35)
интегральные представления Мейера
в
г соз(п+-|Лф
рп (cos 0)=-LJ 2J пС dtp.
V2 (cos ф - COS 0)
п
Pn(cos0)=-|5
sin
("+4)ф
V2 (cos 0 - COS ф)
dcp,
(4.5.36)
370
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[S 5.03
а также
<т)
Рп(COS0)= ? COS (я - 2А) 0,
о
Р 2 (2fe - 1)!! (2п - 2k - 1)11
*"* - б"_2* (2ft)!!
(2л - 2ft) II ' 60 = 2, 6i=fi2= ... =fin=l.
Соотношения ортогональности полиномов Лежандра:
0, т=?п,
т = п.
2п + 1 '
^ хкРп (х) dx = 0 при k = 0, 1, ..., п - 1,
[ хкр (х)с1х =__________-------*)¦"(*-п ---------------
(ft +л + l)(ft + Я- 1) ... (ft-n + 3)'
о
2л "
о
2л
-Ц
2п J
'ГС /">Г1+ 1
P2n+,(cos 0) cos0d0^
Г*" г*1
L,n"Lt,
2п 2гс+2 п4л+2
(4.5.37)
О п р е д е л е н и е. Линейное дифференциальное уравнение второго
порядка
(1 - z2) -^r - 2z + а{а + l)w = 0
(4.5.38)
называется дифференциальным уравнением Лежандра. Оно имеет два
независимых решения.
Первое решение - функция Лежандра 1 -го рода, выражаемая с помощью
гипергеометрического ряда
P"(z) = /?(-a> a+1, 1; -Ц^),
(4.5.39)
абсолютно сходящегося в круге | z- II < 2.
