Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
(2 л - 1) k*Ln - (2л - 2) (k2 + 1) Z."_, + (2л - 3) L"_2 =
= x2"-3 V(1 -*2)0 - ВД,
(2m - 2) [-a + (?2 + 1) a2 - ?2a3]7/m -
- (2m - 3) [1 - 2a (62 + 1) + 3k2a2] +
+ (2m - 4) [(,k2 + 1) - 3fe2a] Ят_2 - (2m - 5) fe2//m_3 =
V (1 -*2)(1 -*2r9 .
(x2 - a)m_1
• (4.5.11)
Из рекуррентных соотношений (4.5.11) следует, что все Ln и Ят при п^2ит^2
выражаются через L0, Z.b //i, которые представляют собой эллиптические
интегралы 1-, 2- и 3-го рода.
Определение. Функция, являющаяся результатом обращения эллиптического
интеграла 1 -го рода, называется амплитудой. Другими словами, если
" = Jvnr
d%
Vl - k2 sin2 h '
§ 5.011
ГЛ. 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
363
ТО
Ф = am и.
(4.5.12)
Амплитуда - бесконечнозначная функция своего аргумента с периодом AiK{k).
Эллиптические функции Якоби:
эллиптическии синус sn и = sin ф = sin am и,
эллиптический косинус спи - cos ф = cos am и,
dtp
(4.5.13)
дельта-амплитуда - du
Функции Якоби - двоякопериодические с периодами:
sn" имеет периоды 4К и 2K'i, К' = K(k'), сп и имеет периоды 4К и 2 (К +
K'i), dn" имеет периоды 2К и 4K'i.
Эллиптические функции удовлетворяют следующим основным тождествам:
sn2M + сп2 и = 1,
dn2 и + k2 sn2
и= 1, | и= 1. J
(4.5.14)
Основные степенные разложения для эллиптических функций:
k2 з , ft2(4+ft=) s ft2(16+44ft2+ft<) 7 ,
U = U gj- и3 И--------и5------------------------------------s-Tl--и7 +
...,
am
sn
71
1 +ki 3 , 1 + 14ft2 + ft* 5 U = U-----------------------и3 н-----------1-
----=7-1- и5 -
3!
5!
1 + 135ft2 + 135*4 + ft8 7 .
71 U -f- ...,
СП U= I - ± +1±^ - L±il^+ V + ¦ ¦ ¦.
dn"=1 - * Ц* -*2 (16+?"+")
(4.5.15)
Эти ряды сходятся при |и| < min{|K'|, |2#C + iK'|,
12K - iK' |}.
364 ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
Основные тригонометрические разложения:
00
qn ппи
[5 5.01
ЛИ I п V* 1
аши =-----------2 у -
2К
п=1
2 п
sin-
sn
СП
и = - У -q " sin (2га - 1) кК 1 - q2n~l К '
п= I
оо п - ~
2л V* q 1 -
Л=1
2Л V'
U =-------- )
ЬК i-t
пи 2 К
ли
-у cos (2га -1)
, л . 2л V*
dnM =------------------>
ОК К ?-1
2 к К ^ 1+9
п-1
qn пли
COS-------
2 п
(4.5.16)
п К (*')
где q = е
Эллиптические функции Якоби удовлетворяют следующим дифференциальным
уравнениям: d sn и
"и
d сп
du d dn и
= У(1 - sn2u) (1 - k2 sn2 и) ,
- - - V(1 - СП 2u)(k'2 + ft2cn2u),
- д/U - dn2 u) (dn2 и - k,2) .
du
Дифференцирование эллиптических функций выполняется по формулам
d sn ц ,
= cnudnu.
du den и du d dn и du
= - snu dn u, = - k2snucnu.
(4.5.17)
Эллиптической функцией Вейерштрасса называется решение дифференциального
уравнения
(4.5.18)
где
оо оо
#2 = 60 ? ?' (тс^ +гасо2) 4,
т-- оо оо
оо оо
?3=140 Z 2У (tficoj +nco2)_6,
т= -оо де -оо
S 5.01]
ГЛ. Б. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
365
причем штрих в суммах означает, что тип одновременно не обращаются в
нуль, coi, сог - любые комплексные числа, отношение которых не является
вещественным числом.
Функция Вейерштрасса обозначается символом р (и) и одно из ее разложений
вблизи и - 0 имеет вид
оо оо
(и) и2 "Ь ? ? { (u - 2ma>i -
1
з>)2}
2жв2)2 (2/ла>1 + 2пш2)2
(4.5.19)
Числа 2coi и 2со2 являются периодами функции р (и). Основные соотношения
для функции Вбйерштрасса:
¦ и) = Р (и). Р' (и) = - Р' (- и).
р ("*) = - + + е^.-+ ****?-S \и) и2 -Г 4 . 5 f 4 .7 f 24 ¦ 3 ¦ 5- ^ 21 •
5 • 7 ¦ 11
+
1 Г"7===>) = в| + (в! - ез) \ Vei - бз /
СП2 (ц, ft)
sn2 (u, ft)
т / \ dn2 (", ft) ¦ , \ 1
= e2 + (e, - e3) sn2 (ц> = e3 + (б! - e3)
sn2 (u, ft)
(4.5.20)
/e2-e3 Jf(ft) "(*') .
ft - Д/--------, COi - , ¦ -, co2 - -, . -. ,
V ei -ез Vei-e3 V6!-ез
ej > e2 > e3 - вещественные корни уравнения 4ш3 - -
- gs = 0 (если g\ - 2Tg\ > 0).
Тэта-функции определяются соотношениями
d,(")=Y ? (_l)n?(n+2) ei(2n+i)u^
П=х - ао
°° f IV
= 2?(-l)n+1 <ДП'2' sin {2n - l)u,
П=* 1
02(") = E e'(2"+1)" = 2?.qf("")-cos(2n-l)ii1
*oo ft=*l
ao ao
^з (") = qn'e2nlu = 1 -f 2 X ?n' cos 2/iu,
rc=I
¦M") = Ё (-l)n?"Je2ni"= 1+2 Ц (-l)"?n,cos2nu.
oe ft=I
(4.5.21)
366
4. TV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[5 5.02
Связь между тэта-функциями и эллиптическими функциями Якоби дается
равенствами
45)
1
SJ111 = -=
*
СП
dnu = -y/k
' •>(¦&)' тг"(5-)
"<(•
пи \
W)
(4.5.22)
Представление функций Якоби через тэта-функции является одним из наиболее
эффективных способов вычисления их значений, поскольку разложения тэта-
функций обладают очень быстрой сходимостью (п-й член имеет порядок qnl).
В настоящее время издано много таблиц, содержащих численные значения
эллиптических интегралов и эллиптических функций [20] - [23].
§ 5.02. Гипергеометрический ряд
и гипергеометрическая функция
Введем для целых неотрицательных значений п обозначение (а, п)= r(r(y~.
(4-5.23)
называемое символом Аппеля, где Г (а)- гамма-функция (функция Эйлера),
определяемая несобственным интегралом
Так как Г(а) = (а - 1) Г(а - 1), (а, 0) = 1, то
(а, п) = а (а -f 1) (а + 2) ... (а + п - 1), п > О, (1, п) = nl
(- а, л) _/ п,а(а-1)".(а-л+1)
(1, п) -I-1* п\
Определение. Ряд, определяемый равенством
