Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
где р(г) - эллиптическая функция Вейерштрасса, п - целое неотрицательное
число, В - некоторая постоянная.
Существует 2п + I значение постоянной В, для которых решение уравнения
Ламе имеет вид либо многочлена относительно jp(z), либо произведения
такого многочлена на множители вида
Нф(г) = Ыг) + 1Ик (г), H^(z) = h(z)-iNi (г).
|? + [-л(л + 1)р(г) + Я]Л = 0, (4.5.86)
VfP(z) -*i, VHz) - е2, ViP(z) - е3.
Итак, для заданного п существует 2п'+ 1 решение уравнения Ламе указанного
вида, которые называются функциями Ламе п-й степени I -го разряда.
380 ч- IV- ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [§ 5.03
Если еи е2, (см. § 5 01) вещественны (б| > ег> ег), то при четном п
имеется -у+ 1 вещественных и различных зкаче-ннй В, для которых уравнение
(4.5.86) имеет решение вида
П
Л (z) = Е bk (Р (г) - е2)2 *¦ (4.5.87)
*=о
Для нечетного п имеется (п-f- 1)/2 вещественных и различных значений 5,
для которых решение уравнения Ламе имеет вид
п- 1
Л(г)=Ь*(Нг)-г#'' (4>5'88)
А=*0
Коэффициенты bh выражаются через В с помощью равенства
к
Ьк ~ S (2s)!! (2п - I) (2л - 3) ... (2п - 2s + 1) ^ ^ (4-5-89)
s=0
Для того чтобы уравнение Ламе (4.5.86) имело решения в конечном виде
(4.5.87) и (4.5.88) относительно <р (г), необходимо определять постоянную
В из уравнений:
для четного п из условия
для нечетного п из условия
Ьп+1 =0.
2
С помощью функций Ламе выражаются так называемые эллипсоидальные функции,
являющиеся решениями уравнения Лапласа, преобразованного к
эллипсоидальным координатам. Более подробно о функциях Ламе см. книги
[16].
§ 5.08. Полиномы Гегенбауэра. Коэффициенты Лапласа
Определение. Полиномами Гегенбауэра называются коэффициенты Cn{t)
разложения
(1 - 2ta + а2)"* = Z Сп (t) ап. (4.5.90)
ГГ=Р
§ 5.081
ГЛ. 5. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ
381
С помощью гипергеометрического ряда они представляются формулой
С'М - rF+iyrlatf f(2Я + +j; -т^)- М-6.91)
Основные рекуррентные соотношения для полиномов Геген-бауэра:
(я + 2) CUа (0 = 2 (Я + п + 1) <С?+, (t) - (2Я + я) с? (fl, яС* (0 = 2Я
|>с?! (fl - (fl],
(2Л + л)С^(0 = 2Л[с!;+,(/)-/С^!(0],
nCj (0 = (2Л + я -1) tCn-1 (/) - 2Л (l -/2) Сп-2 (fl-
Тригонометрическое представление для C"(fl:
/=о ft=0
Кроме того, отметим, что полиномы Гегенбауэра ортогональны на отрезке [-
1, 1] с весом (1
Определение. Коэффициенты Ь^ разложения
(1 + z2 -2zcosX) 2 =y ? Ь{п cos kk (4.5.93)
jfes* - С"
называются коэффициентами Лапласа. Они выражаются через
гипергеометрический ряд с помощью формул
b{k) = ип --------
hm - ип -----
(1, *) (г ! 2 Jrk' 1; z2)'
(т- 0
(1. к)
_п_ (п . п , . - г2 \
гк{\-z2) 2 ПТ' *+1;
(4.5.94)
где (у, - символ Аппеля (4.5.23).
382
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
IS Я.08
Первый из рядов (4.5.94) сходится (см. § 5.01) при |z|< 1, а второй - при
| г | < Для больших значений k применение первого ряда (4.5.94) более
выгодно, поскольку в этом случае его коэффициенты быстро стремятся к
нулю. Если | z | > 2~'/,1 то второй ряд (4.5.94) расходится, но для
любого конечного k им можно пользоваться, так как он является
асимптотическим.
В развернутом виде ряды (4.5.94) имеют вид
Ь(к)-ип ¦
2 п
k +1
-г2 +
2! (k + 1)(* + 2) 2 ¦*" • 1 ' J '
f, _ [,+Л
,l(T+0(f-0(f-0,, 1
~r 2! (k + l)(k + 2) P + ¦ ¦ ¦ J'
T-1 ¦ + 1 <
1 - z*
(4.5.95)
В частности,
ьГ = 2 [l + (i)V+(^f±2-)W ...].
Основные рекуррентные соотношения для коэффициентов Лапласа:
u(k+1)
ип
2k
(-1-1 2k + п - 2
2k-п+2 Z + Z )b* 2k-n+ 2 n '
kbf = ±z{b№-b№\
b\" = (1 + г2) b% - 2 {b№ + b№), n(\-z2)WU+bffi) = (2ft + n) bf - (2k-n +
2) ^+1), n (1 ¦-г2) (&&,-№) = (2k + n) b{?+(2k - n + 2) 6<*+1),
(4.5.96)
Соотношения (4.5.96) позволяют определить все коэффициенты Лапласа, если
известны коэффициенты bi0) и b1*.
§ 5.08)
ГЛ. В. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИЙ
Интегральные представления для коэффициентов Лапласа:
где К(г) и E(z)-полные эллиптические интегралы 1-го и 2-го рода.
Наряду с последним рекуррентным соотношением (4.5.96) применяется другое
соотношение, выведенное Нькжомом. Введем величины
которые называются коэффициентами Ньюкома и функцией Ньюкома
соответственно. Очевидно, что
Для "логарифмических производных" функций Ньюкома имеется рекуррентное
соотношение
В аналитических выкладках использование сп иногда оказывается более
удобным, чем использование коэффициентов Лапласа.
, (ft) _ п (п + 2) ¦.. (п + 2fe - 2) 2_ k v °п - (2ft- 1)1! п А
О
Vl - z1 sin2 Я
sin2* Я dX
(4.5.97)
ЬР = ±К{г), ЬР=*±[К{г)-Е(2)],
XF(^ + r,j + k + r, k +r+U Z2),
(4.5.98)
c(fc) _ c(fc, 0) c(-A)_c(ft)>
Ds+,Cn 'r) = J (n + 2k + 4r - 1 )D'c(n*' r) + D (n=l, 3, 5, ...; k,r,s =
0, 1, 2, ...).
384
Ч. IV, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО движения
[§ Б.оЗ
§ 5.09. Числа Коши
Пусть имеется выражение
где р - произвольное целое число, /, q - целые неотрицательные числа.
Определение. Числами Коши называются члены, не зависящие от х в
разложении / по степеням х. Для них принято обозначение N-Pi 3-, ,.
Для вычисления чисел Коши имеются следующие формулы и рекуррентные
соотношения:
