Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Г 1, если / + ? - Р = 0,
\ 0, если сумма j + q - р отрицательна
или нечетна,
{
(4.5.99)
р, / +1, q ^-р+1, /, q N-p-i, j, (j,
и, в частности,
N-p, l, q ^~p+l, 0, q "Ь N-p- it o, q.
Глава 6
РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
В задаче трех и большего числа материальных точек при аналитическом
приближенном ее решении приходится иметь дело с разложением возмущающей
функции в кратные ряды Фурье. Этот необходимый этап в теории возмущенного
движения связан с трудоемкими вычислениями. Для многих практических задач
можно использовать разложения, приводимые в этой главе. Наряду с
разложениями, включенными в главу 6, в небесной механике применяются
разложения с использованием канонических оскулирующих элементов. Их можно
найти в ряде пособий, например, [б] - [7].
§ 6.01. Разложение возмущающей функции в задаче
о движении двух планет (случай круговых орбит)
Определение. Планетной задачей п тел назовем задачу
о движении п - 1 тел (планет) Р\, Р.......1 с массами
Ш\, mu, ..., rrin-i соответственно относительно центрального тела Ро с
массой то под действием сил взаимного тяготения, причем будем считать,
что тк "С т0 (k = 1, 2.п - 1).
Таким образом, планетный вариант задачи трех тел - это задача о движении
двух планет Pi и Pi, с массами т\ и тг соответственно относительно
центрального тела Ро с массой m0(mi < то, т2 < т0).
При решении задачи можно воспользоваться различными формами уравнений
движения, приведенными в главе 1. Однако при интегрировании
дифференциальных уравнений для оскулирующих элементов необходимо иметь
явное выражение для возмущающей функции через оскулирующие элементы.
В двухпланетной задаче в уравнениях движения планеты Pi относительно
центрального тела Ро в качестве возмущающей функции фигурирует функция
д2 = fm? - ***"¦+. (4.6.01)
13 Под ред. Г, н. Дубошина
386
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 6.01
а в уравнениях движения планеты Р2 фигурирует возмущающая функция
*i =
1 *1*2 + У\Уг + 212; '
(4.6.02)
где
или
Л = У (*i - *2)2 + {У\ - У2)2 + (zi - z2)2
Д = 'sj г] + г\ - 2 r/2 cos (r^r2),
г1=л/х] + У] + ^ (/=1,2)
(*ь */ь 2i - прямоугольные координаты планеты Pi в системе Рохуг, х2, у2,
г2 - координаты планеты Р2 в той же системе). Введем обозначения
R] = А-1 - ¦*"*" + yf + = д-1 - Rl " '
Г1
^ = д-1 _ хм+уф+гл = д_, _ ^ 2_
(4.6.03)
Величина Д-1 называется главной частью возмущающей функции и ее
разложение представляет наибольшие затруднения. Выражения R'u i и R2i 2
называются дополнительной частью возмущающей функции.
Из рис. 65 имеем
^i = Di -|- (Oi -|- Qi, К2 = Х)2 (Й2 Я21
A,i = A]4-Ti, Л2 = А2 + т2
или
где
cos (г], r2) = cos Л1 cos Л2 -f- sin Л[ sin Л2 cos J (4.6.04)
cos (ri, r2) = cos (Л[ - Л2) - 2a2sinAi sinA2,
a = sm ^ ¦
Взаимный наклон J и углы ti и t2 определяются следующими формулами:
] . (Ti " fii) "j- (Tj fl2) ¦ ^2 - ¦ /2 Й
Sin-g Sin-^-------- 2 • -------- = sin 2 Sin' J ¦ ,
¦ J (t 1 - Qi) "|- (T2 - ^2) ^2 - - ii
sin Y cos ----------------- 2 ------ = cos - sin 2
I . (tj - Qi) - (t2 - Q2) COS -g sin -------------------- 2 ---------
-----
(4.6.05)
§ 6.01] ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
387
Существуют три метода разложения возмущающей функции: аналитический,
численный и полуаналитический.
Рис. 65. Определение вспомогательных величин. TTAi"B|- долгота
восходящего узла орбиты планеты Р ii, i2-наклоны орбит; nt, Па -
перицентры орбит; д,П,в(1)а -аргументы перицентров; П|Р| -U| -
истинные аномалии планет Рь Р>;
SliPi^=Ui, SlaPt-u2 - аргументы широты; "^ - взаимный наклон;
истинные долготы планет в орбите; NP\*= Ai, NPi^Ag-истинные долготы
планет в орбите, отсчитываемые отточки N\ SltN-Ni', t; Oi +
ty-ti; ft,+ N2="Ti.
Сначала мы приведем основные формулы для аналитического разложения
возмущающей функции в планетной и лунной теориях.
Введем обозначение
ло = И + i - 2rir2 cos (Л1 " Aa)T/j-Тогда очевидно, что
* -1 * -I Г1 i sin Ai sin А3 ]-1/*
Д = До ^ 1 H--------------j-------i
l до J
или
* 1
A-1 = Ао"1 ' 1+X-(^j-(4rir2 sin Л, sin A2)ft Г. (4.6.06)
k=\ 0 J
где (-- символ Аппеля [см. (4.5.23)].
Ряд (4.6.06) сходится абсолютно, если
388
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
" 6.01
Для больших планет Солнечной системы условие (4.6.07) всегда выполняется.
Разложение (4.6.06) не является окончательным, так как оно представляет
величину Д-1 в виде явной функции о2, а для окончательного разложения
необходимо выразить ги Тг, "i, 02 также в виде явных функций оскулирующих
элементов.
Для дополнительной части возмущающих функций /?*, i и /?2,2 как явных
функций о2 имеем следующие представления:
1(4.6.08)
Рассмотрим простейший случай круговых орбит (ei= е2= 0), в котором
ri = ai = const, /2 = а2 = const, Хх = 1и -12, (4.6.09)
где l\, h - средние долготы планет Pj и Рг в орбите.
Для этого случая разложение (4.6.06) принимает вид
Пользуясь коэффициентами Ньюкома [см. (4.5.98)], бу* дем иметь
R'. 1 =^[cos (A[-Л2)-a2 cos -Л2)+а2 cos (Л1+Л2)],
Г!
где
L\ - Ц - Tj, L2 =* /2 - т2.
