Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
и Б. К. Мартыненко [127] (случай малых эксцентриситетов).
Разложение Б. К. Мартыненко для возмущающей функции Ri (4.6.02) дается
соотношениями
оо оо оо Ш Tfl\ Si S |
z ? ? z cos(ili+
m-2 5i=0 0 ?=0(1) /=-m feL=-Si 5,
+ JL s + ftiMi + k2Mi),
i = \j\ = m (mod 2), a = -^- < 1,
v = a2, Ц = 1 - a2.
(4.6.22)
Суммирование no i начинается с нуля, если т - четное число, и с единицы,
если т - нечетное.
В (4.6.22) Ми М2, L\, L2, как и раньше, - средние аномалии и долготы
возмущающей и возмущаемой планет, а\ - большая
S 6.03]
ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
401
полуось орбиты возмущающей планеты. Долготы отсчитываются от точки
пересечения орбит.
Для коэффициентов разложения (4.6.22) имеются соотношения
Семииндексный параметр выражается через опера-
торные полиномы Ньютона по формулам
Pi''ft, ~ численные коэффициенты полиномов Ньюкома.
Так как выражения (4.6.26) являются алгебраическими полиномами, а не
рядами относительно а, разложение (4.6.22) сходится при любых 0 ^ а ^ 1,
лишь бы а < 1 и эксцентриситеты в\, е2, были достаточно малыми.
Замечание. В §§ 6.01-6.03 приводились разложения возмущающей функции для
двухпланетной задачи. В задаче о движении п планет (п > 2) можно
пользоваться теми же разложениями, так как полная возмущающая функция для
любой из планет складывается из нескольких возмущающих функций для
соответствующих двухпланетных задач.
2 ' 2
где
А,
ft-p,
vm-2p,-2p,-ft,+ft1^2pa+ftI-ft,
xZ
(Рз + k2 - ki)! (m - k2 - Pi - p2) 1 p31 (ki ^-Pi+P2)l'
Pi=о
где
D =
d
d In a
402 ч- IV- ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [§ 6.04
§ 6.04. Вековая часть возмущающей функции в двухпланетной задаче
Вековая часть возмущающей функции - это часть разложения возмущающей
функции, не содержащая периодических членов, аргументы которых суть
средние долготы или средние аномалии. Можно доказать, что дополнительная
часть возмущающей функции {R\.\ или #2,г) не содержит вековую часть.
Таким образом, вековая часть возмущающей функции появляется в результате
разложения в ряд главной части возмущающей функции А-1. Полное выражение
для вековой части возмущающей функции имеет труднообозримый вид, хотя с
помощью гипергео-метрического ряда и разложений Кэли [27] принципиально
может быть выписано. У Леверье [25] выписана в явном виде вековая часть с
точностью до седьмых степеней эксцентриситетов . I
и величины ff = siny.
Ниже приведено разложение вековой части возмущающей функции с точностью
до четвертых степеней малых величин
Рь век = /т, {(If + (2Г(^)2 + (3f (^)2 + (4f (f )4 +
+ (5f И' (f)2 + (6f (Й4 + (1 D(0) a2 + (12f (f )V +
+ (13f (t)2^+ (17)(0> ff4 + [(21)'_1)(^)Й)+(22)(_1)(Й ft)3+ + (23)(-'>
(^-)3 (^) + (27)'-11 (^) (I) a2] cos (co2 + Q2 - co, - Q,) + + (31)'-2)
(^-)2 (f J cos (2cd2 + 2Q2 - 2(0] - 2Q[) +
+ (36)(0) 'ff a2 cos (2(o2 + 2Q2 - 2Q, - 2 W,) +
+ (40)'° (^-) (f) a2 cos (a, - Q, - 2.V, + (o2 + Q2) +
+ (44)(2)(f)2a2 cos (2(o,-2^)}.
Как и раньше, нижний индекс 2 относится к элементам возмущаемой планеты,
а индекс i - к возмущающей.
Коэффициенты предыдущей формулы даются соотношениями
§ 6,041
ГЛ. 6. РАЗЛОЖЕНИЕ ВОЗМУЩАЮЩЕЙ ФУНКЦИИ
403
." <М(0) 9 , d2A^ 3 , d3A^ at d4A(0)
(4>( -3fl-^r+7fl-^r + 7fl?-^r+T-^r
." d/l(0> , " , d2A<°> , , , d3Am , at dV°>
(5) _2fll da, + 1 da? + 1 da? +2 da* '
a] d3A(0) a? d4/lt0)
2 da? 8 daf
(6)№
(11)(r) = -^-.
(01 ^ll) "? d2fi0)
(12) == (13) = - a.
da! 2 da2
(17)"" 3 [2C(0) + C<2)],
(21)(_1> = 2Л(1) - 2a
d^11 о d2^<')
1 da, da? '
< " ,(.) " ^(0 c , d2^(" c , d*A{l) "1 ^(1>
(22) = - 43Л - 2a,---------------------------5a?------------ - 5a3------
-------------------=--- -j-,
V ' 1 da, 1 da? 1 da? 2 da?
( n d^(1) о d^(1) O , rf3^(1) "I ^U)
(23)'"° = - 7a,----------------5a?------------ - 3a?-----------=------
----l------,
v ' da, 1 da? 1 da] 2 da|
,-n г (0) (2)i dU""> + /"">] a? d2[B(°) + B(r)]
(27) = - [fi(0) + fi(2)] + a,----------------------- + -----
-------t-------L,
da, 2 daf
(-a ,oo о dA{i) 3 o d2^(2) , d3A(tm) a* d4A(r)
31 (~2) = - 2Л - 3a,----------------------+ - a ------------r- +
2a3-----------------------r + -r,
1 da, 2 1 da? 1 dal 4 da}
(0) B!1) a, dB(1) a? d2B(1)
36<0) =-------------------^-----------+ -------------r,
2 2 da, 4 da?
4(1) (0) d2J(tm) a? d2B(0)
(40) = fi( - a,-------------------------
' da, 2 da?
n(2) 3 3 dB(1) a? d2B(1)
(44) = - Д(|) + -a,- - + --------------
2 2 da, 4 da?
404 Ч' IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [5 *'05
Приведенные формулы выражаются в конечном
коэффициенты Лапласа, так как
Л(0) 6[°> л(1)- б|" Л(r) = it
Я] ' "1 ' "1 '
В(°) Bw = Ь?_ в(2)- bf>
41 ' Я] ' "1 '
С(0) bf at ' с(2) = s.
Коэффициенты Лапласа b(к) зависят от a = -j-<l и выражаются формулами
(4.5.94) - (4.5.96).
С точностью до вторых степеней малых величин е\, ez, о вековая часть
возмущающей функции (с точностью до множителя /mi) выражается равенством
[Д-'L, - j А, - j Л>, + ^ (2Л&> + /1П +
+ j ехе2 (2А{ - 2А^ - Л2)) cos (Щ - П2).
Пользуясь соотношениями (4.6.17), можно выразить вековую часть
