Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим г, v, г и v, рассматриваемые как функции т, соответственно
через р, со, ? и д. Тогда
W (г, v, г, v) = W (р, ш, ?, А) = |
"А А0 , 1 0 А ро * | о * Ро • / (4.7.24)
= 2 лГ-Х-^2 а7^^со5"о + 2 а7'5Гт,8ШШо- 1
В (4.7.24) ро и соо - те же самые функции от ?, что и г0 и Vo от г.
( dW \
В (4.7.21) величина означает производную W по ?, в ко-
торой после дифференцирования ? заменено на г.
Решение интегральных уравнений (4.7.20) и (4.7.21) возможно получить
методом последовательных приближений. В первом приближении г и v
определяются из соотношений
паг = n0t + С0 + ^ Wt/io dt, где
W.------1 +24-2^^5cos. + 1^,!!.., (4.7.26)
(4.7.25)
$ 7.03] ГЛ. 7. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ КООРДИНАТ 415
Здесь р и ш - эллиптические значения, зависящие от невозмущенной средней
аномалии.
Замечание. Вычисление возмущений высшего порядка в z и v подробно
рассмотрено в [2]. Для решения этой задачи необходимо прежде всего
выразить функцию W через компоненты возмущающих сил, далее нобходимо
получить явное выражение для W как функции оскулирующих элементов и
параметров вспомогательного эллипса и, наконец, выбрать удачную
независимую переменную интегрирования. Чаще всего - это время или
эксцентрическая аномалия возмущаемого, тела. Как и в методе Хилла, важно
установить зависимость между постоянными интегрирования.
Неизвестные величины s, А, ф определяются из равенств
где
р = sin i sin (cr - Q0)i Я - sin *cos (ff - ^o) - sin iQ, x = 1 + cos i0
cos i - sin iQ sin i cos (or - fi0)-Вспомогательная величина Г
определяется из соотношения
в котором W* - компонента возмущающей силы, перпендикулярной к плоскости
оскулирующей орбиты.
§ 7.03. Метод Брауэра
Пусть основная координатная плоскость Рцху совпадает с плоскостью
невозмущенной эллиптической орбиты, причем ось Р0х направлена в
неподвижный перигелий, ось Роу направлена под прямым углом к Р0х в
направлении движения возмущаемой планеты Р, ось P0z дополняет оси Р0х и
РоУ До правой тройки. Следуя Брауэру [2], обозначим через х0, Уо, %о, х0,
у0, z0 (г0 = 0, Zq = 0) невозмущенные прямоугольные координаты и
компоненты скорости возмущаемой планеты Р. Они зависят от времени и
элементов, орбиты. Тогда возмущенные координаты и скорости представляются
равенствами
s = q sin (li) - й0) - Р cos - Q0),
dsincp - (4.7.27)
/4 БШф = - ,
т X
к-yjp ^f{ma + т)
о
4.7.28)
416
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 7.03
Уравнения для возмущений прямоугольных координат имеют
вид
или
d2 (в*) , ц (*о + Ъх)
di2 + г3
ц*о dR
г'о дх
d2 (fly) - Ц (Уо + fly) УУа _ dR
Г3 rg dy '
ц flz _____ 5/?
r3 3z
dt2
d2 (flz) dt2
d< d2(fly)
nfly
dt d2 (flz)
dr
'0
,3
= G.
(4.7.29)
(4.7.30)
которые будем называть уравнениями Брауэра. Функции Gx, Gy и Cj в
(4.7.30) равны соответственно
$ 7.03] ГЛ. 7. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ КООРДИНАТ 41?
Рассмотрим однородную систему, соответствующую первым двум уравнениям
Брауэра:
И 6* _ Зцх0 (ха 6х + у0 Ьу)
rl
d2 (вх) dt2
d2 (Ду) dt2
'о Jl6y
= 0,
Зцуо (Xg 6X + j/j 6y) _q
(4.7.32)
Третье уравнение системы Брауэра принципиально не отличается от третьего
уравнения в методе Хилла, поэтому вычисление возмущений 6z можно вести по
четвертой формуле (4.7.11). Общее решение системы (4.7.32) имеет вид [2]
(4.7.33)
дх0 'дс\ + с2 дх0 дс2 + С3 дх0 дс з + с4 дх0 dct
дУо дс 1 + с2 дУо дс2 + дуа дс з + С< дуо dct
где си с2, с3, с*- любые четыре элемента, определяющие движение в
плоскости эллиптической орбиты, Ci, С2, С3, С4 - произвольные постоянные.
Очевидно, что
6х = = С, дха дс 1 + С2 дх0 дс2 + с3 дх0 дсз + С4 Qj|
Qj I5 jo
6у = = С, dya дс^ + С2 дУо дс2 + С3 ду а дсз + с4 дуа
dct -
(4.7.34)
Для интегрирования уравнений (4.7.30) Брауэр применяет метод вариации
произвольных постоянных. В результате получается
'¦*=ж№а"+2га")"<+
¦ dX"]{jLA1,+^-At^dt +
\(^f-A" + ^-A")dt +
дс2 дх0 дс3 дха ^ dct Gu
ЬУ = 1^\{-ГА* + ~Т Ai)dt +
+ ~^\{~TA32 + ~TAi2)dt + + 1^\{~ТАзз + ~7- A")dt + + Ж S ("Г Лз4 + ~т Л")
dt'
(4.7.35)
14 Под ред. Г. Н. Дубошина
418
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 1.03
где якобиан I равен
J _ д (*о, Уо, *0, у а)
д (с 1, с2" с3, С4)
(4.7.36)
а - алгебраическое дополнение элемента якобиана с индексами s и ft.
Для вычисления бх и 6г/ необходимо заменить х0 и г/0 через i0 и г/о в
производных, стоящих перед интегралами в (4.7.35).
В качестве элементов эллиптической орбиты Ci, с2, с3, можно, например,
взять
Ло = not -)- = nQt -)- С],
С1 = Bj, С2= L0, C3 = TJ]0, C4 = |I0,
(4.7.37)
где Lo. ?10. Лю. ^0 - невозмущенные значения канонических элементов
второй системы Пуанкаре [см. (4.3.23) и (4.3.25)], е0 = я0 + Мо- При
таком выборе с, якобиан / = 1.
Встречающиеся выше алгебраические дополнения равны
где
А - дх0 , 3^ L1 4 dxa А дха
^31 - dL0 дк0 ' л32 - dh
А дх0 А ¦ дх0
Л33 • л34 ' <5г)ю ' 1
А. - дуа , 3;а2 t дуа дК ' А. - дУо
Л41 Щ Z.4 Л42 дка '
А43 - - дУо *6io 1 А44 _ дУо ЙТ)ю 1
*о:
У о =
е0-
0*-о ~ (S?o + *]щ)]2 4ц (1 + е0 cos в0)
