Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
оо
Й0)(а, р, со, 1Wj)= X Со, ьа(а> Р)cos k2 (?2 - Mj). (4.9.12)
k3=t - oo
^ 9.01] ГЛ. 9. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ 43§
4. Первая схема Делоне - Хилла. Введем аномалию Делоне D по формуле
D = klM + k2(Q-Ml), (4.9.13)
где k\, k2- некоторые известные положительные числа и такие, что k\ti -
foni = 0.
С помощью (4.9.13) исключим из разложения (4.9.01) величину fi - Mi.
Получим
оо оо ОО
RA(a, р, i, М, со, D) = fml'Y X! Z Ck¦¦ k^a' р•
ftl=0 fc3= -оо - оо
X cos [(fe, - k2 M -f A D + fe3co] • (4.9.14)
В результате осреднения разложения (4.9.14) по М получаем
2л
R4(a, р, i, со, Я) =2^- J Я (°. р, i, М, со, D)dM, (4.9.15)
о
или
ао оо
Ri (а, р, I, со, D) = fm1'Z S CsK sR k (a, p, i) cos (sD -f A>3co).
S= 0 ft,=!-ao
(4.9.16)
Для плоского варианта первой схемы Делоне - Хилла имеем [31]
оо
(а, р, D) = fml 2 с г J- (а, р) cos sD. (4.9.17)
s=о 1
В плоском варианте аномалия Делоне D выражается соотношением
D = kxM + k2 (со - М[). (4.9.18)
5. Вторая схема Делоне - Хилла. Введем обобщенную аномалию Делоне D по
формуле
Ь = -^М + Й-М, (4.9.19)
и исключим из разложения (4.9.01) разность Q - Mi. Будем иметь
ОО 00 оо
#5 (а, р, i, М, со, D) = fm, ? ? ]Г Cft" kl. ь, {а, р, i) X
fe)=0 kf=*-ao kf=-ao
X COS [ kin M -f k2D -j- A3co]. (4.9.20)
436
*1. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
К 9.02
Осредненная возмущающая функция Rs вычисляется по формуле
Более подробные сведения о приведенных схемах можно найти в [31].
§ 9.02. Уравнения осредненных схем ограниченной круговой задачи трех тел,
определяющие промежуточную орбиту (нулевое приближение). Их первые
интегралы
Для получения уравнений промежуточного движения возмущаемого тела
необходимо заменить возмущающую функцию R в уравнениях Лагранжа (4.3.15)
тем или иным осредненным значением. Будем обозначать значения осредненных
оскулирующих элементов через а, р, i, М, Q, со.
1. Схема К. Гаусса. Уравнения для схемы Гаусса имеют вид [36]
г
R5{a, р, i, со, D) = lim -Ц Д(а, р, i, М, со, D)dM. (4.9.21)
Для плоского случая
(4.9.22)
di ctg/ dfli
dt Vfmp da>
(4.9.23)
У/mp sin i di
1_______ dR,
Q = Q - Mj.
В (4.9.23) m - масса Солнца.
Система (4.9.23) является интегрируемой [36].
§ 9.02]
ГЛ. 9. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИЙ
437
2. Схема П. Фату. Уравнения для схемы Фату имеют вид [36] ____ _
- = 2 л/ - dR> dt V fm
dt
dp
dt
fm dM
=4-к
dR2
да
di ctg t dR2
dt Vfmp dot
dM dt
- 1 " / fm _ O . /jL_
~ а Д/ a \ fm da '
dQ _____ n ~\________________-_________2
dt ''Jfmp sin i di
= - 2 a/- dt V fm
dR2
ctgl dR2
(4.9.24)
fm др Vfmp di
Система (4.9.24) имеет два известных первых интеграла [31], [36], однако
ее общий интеграл неизвестен.
В плоском случае уравнения для схемы Фату имеют вид
V /т дМ '
da
dt
-42- = 0 dt
да
dM 1 / fm I a dRf>
л. = _П1_йд/^Г
dco
/т
dRf'
dp
co = co - Af[.
Известен общий интеграл системы (4.9.25):
P = Cl.
-|j- + л/fmp nj + = c2)
(4.9.25)
"Ш
CO - C00 :
dp
(4.9.26)
4з8
Ч< IV, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 9.02
В равенствах (4.9.26) функция #2°' выражается соотношением (4.9.09).
3. Схема Н. Д. Моисеева. Уравнения для схемы Н. Д. Моисеева имеют вид
[36]
d' = 0,
dt
dp
dt
JL
dt
dM
dt
da
dt
d&
dR3
da
ctg t dR3_________________1 dR3
Vfmp da V fmP s*n t
-4-b
dR з da
ctg I dR3
fm dp 1
V fmp dR3
dl
(4.9.27)
dt 'y/fmp sin* di
Известны [31], [36] два первых интеграла системы (4.9.27), однако ее
общий интеграл неизвестен.
Плоский вариант осредненной модели Н. Д. Моисеева относится к
интегрируемым задачам [31]. Уравнения для этого случая выражаются
равенствами
dd =0,
dt
dp
dt
dM
dR?
fm dco
dt
da
dt
= - ni - 2 д/ cp
fm da dR?'
(4.9.28)
Ее общий интеграл:
a = cu
5 9.021
ГЛ. 9. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
439
4. Первая схема Делоне - Хилла. Уравнения для первой схемы Делоне - Хилла
имеют вид {36]
ViFe'
fm dD
dp
dt
di
~~dt
dM
= o л/JL i*i.
\ fm дш ' __ ctg i dRt
dRA
dt
da
dt
d&
dt
VfmP dib Vfmp sin i dD
1 " / fm _ 9 /_o_
a \ а Л/ fm ^ '
_2a/T: ctg" a/?4
V fm
fm
1
V fmp d~Rt
di
di
(4.9.30)
Vfffip sin t
Известны [36] два первых интеграла системы (4.9.30), которых, однако,
недостаточно, чтобы выписать ее общий интеграл. Уравнения плоского
варианта
dd -la 1Г = 2к1 V 7п,
-S-=2Wt!
-=W?-2V5
dRf fm dD
T dRf]
fm dD
dM ~dt dot
~dt ~~ "l " V fm. имеют известный общий интеграл
k
' dRf>
¦ = - л,
fm da
2yr^
V fm. dp '
(4.9.31)
Va - j- Vp =c" "2
+ +/?40) = C2,
2a Ai
/-/o =
D
dD
"-йо = -2 J V-^T
fm dp
dp
(4.9.32)
440
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 9.03
§ 9.03. Разложение возмущающей функции для схем осреднения
В уравнения (4.9.23) -(4.9.25), (4.9.27), (4.9.28), (4.9.30),
(4.9.31) входит осредненное значение возмущающей функции R, полученное
каким-либо способом, изложенным в § 9.01. Для получения конкретных
зависимостей элементов промежуточной орбиты от времени необходимо иметь
явный вид разложения R как функции элементов промежуточной орбиты а, р,
i, М, Q, со.
Ниже выписаны разложения для осредненного значения возмущающей функции R
