Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
- [Hi cos Af + 2H2 cos 2Af + 3H3 cos 3Af + ... ] 6^ +
+ [^-sinM + -^-sin2M+ (4.8.28)
(4.8.29)
§ 8.05] ГЛ. 8. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ 431
Здесь б 1 61Я, - возмущения первого порядка средней дол-
готы, долготы перицентра, эксцентриситета, М - средняя аномалия, Hk -
коэффициенты уравнения центра [см. формулы
(2.3.14) -(2.3.15)].
Для выражения возмущений прямоугольных координат че* рез возмущения
канонических элементов следует воспользоваться соотношениями § 3.09.
Выражения возмущений элементов через возмущения координат можно получить
аналогичным образом.
Глава 9
МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ,
ОСНОВАННЫЕ НА СХЕМАХ ОСРЕДНЕНИЯ
Большинство методов, изложенных в главах 7 и 8, основано на использовании
кеплеровского эллипса в качестве нулевого приближения для построения
теории возмущений. Такой подход целесообразен в следующих случаях:
1) возмущения достаточно малы;
2) промежуток времени, на котором используется возмущенная теория,
невелик;
3) имеют место одновременно случаи 1) и 2).
Если не имеют места случаи 1)-3), тогда целесообразно строить варианты
теории возмущений, основанные на применении асимптотических методов [32].
К таким задачам относятся так называемые "резонансные задачи", для
которых характерна соизмеримость средних движений планет, приводящая к
появлению малых знаменателей в процессе построения классических вариантов
теории возмущений.
Сущность излагаемых методов состоит в том, что в качестве нулевого
приближения (или промежуточной орбиты) для решения уравнений динамики
берется не решение задачи двух тел, а решение одного из упрощенных
вариантов ограниченной круговой задачи трех тел, чаще всего получаемых с
помощью методов осреднения. Далее, теория возмущений строится с помощью
метода Н. Н. Боголюбова [32] и его вариантов, разработанных для задач с
быстрыми и медленными переменными [33] и специально для планетных задач
[34] - (36].
§ 9.01. Основные схемы осреднения
возмущающей функции в двухпланетной задаче
Все схемы осреднения возмущающей функции R (4.6.02) делятся на две
группы.
1) Схемы осреднения, не учитывающие соизмеримость или почти
соизмеримость средних движений возмущающей и воз-
* 9.0Ц
ГЛ. 9. МЕТОДЫ ТЕОРИИ ВОЗМУЩЕНИИ
433
мущаемой планет. К ним относятся схемы К. Гаусса. П. Фату и
Н. Д. Моисеева [31].
2) Схемы осреднения, учитывающие это свойств К таковым относятся
прежде всего схемы Делоне - Хилла [31].
Пусть разложение возмущающей функции R для ограниченной круговой задачи
трех тел имеет вид
R = fmi'Z Е Е Ckyk"kAa,P,i)X
ft2s=" - ОО - ОО
X cos (kYM - k2Mx -f kzQ + k3a), (4.9.01)
где f - постоянная тяготения, nti - масса возмущающей ^планеты (обычно
Юпитера), а, р, i, М, Q, со - кеплеровские элементы орбиты возмущаемой
планеты, М\ - средняя аномалия возмущающей планеты.
Удобно рассматривать разложение (4.9.01) в виде суммы трех функций:
RB = fmlC0'0'0(a, р, i),
ОО ОО ОО
Яр = frnx Е Е Е Ckt, k,. k, (а, р, i) X
fcl = 0 ft,= -oo fts=-oo
(4.9.02)
1
Xcos(fe,M - k2Mx -f k2Q + &3ra), j IM + Mi KO(m:), j
кроме ki = k = 0m,
OO OO OO
Rh = frnx E E E ft!, ft, (a, p, i) x
k 1=0 ft,= -oo ft3=-oo
X cos {k\M - k2Mx + k2Q + k3a),
| kxn + k2я, |> 0(m,).
} (4.9.03)
(4.9.04)
Функции RB, Rp, Rn называются соответственно вековой, резонансной
(долгопериодической) и нерезонансной (короткопериодической) частями
возмущающей функции R.
Отличие между разложениями (4.9.03) и (4.9.04) состоит в том, что
суммирование в (4.9.03) ведется только по тем значениям индексов k\ и k2,
которые удовлетворяют условию
IM + Mi KO(/ni)>
а в (4.9.04) выполняется противоположное неравенство. При использовании
классических методов теории возмущений функция Rp порождает "малые
знаменатели" в теории возмущений, или долгопериодические неравенства.
434 Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [§ 9.Р1
Действительно, если М = nt -f М0, М\ = ri\t -f Mi:0, то
\R>dt=Z Е Е -Ck"kkln+мГ0 sin {kint ~ w+л)'
Jfel=0 fe2="00 fe3e= -OO
где А- величина, не зависящая от времени. При условии \k\ri -f k2tii | ^
0(m{) коэффициенты при тригонометрических функциях могут достигать сколь
угодно больших величин.
1. Схема К. Гаусса. Будем обозначать осредненную возмущающую функцию
во всех схемах через R\. Согласно схеме Гаусса
2Л 2л
Rx{a, р, I, ") =-4^г ^ \R(-a' Р' l' М' Q> m) dM dMu (4.9.05)
о о
или
оо
R{ (а, р, I, со) = fml X Со, 0, (а, р, i) cos ?3ш. (4.9.06)
fe3= - оо
2. Схема П. Фату:
2л
R2(a, р, i, М, со) = ^ R {а, р, I, М, Q, co)rfMb (4.9.07)
о
или
оо оо
R2 {а, р, i, М, со) =fml'Z ? С*.. 0, k, (а, р, i) cos (k{M + k3a).
ft 1=0 &3= -oo
(4.9.08)
Для плоского варианта схемы Фату имеем [34]
оо
/?20) (а, р, M) = fmI X С*., о (a, p)cos?,M. (4.9.09)
kt=0
3. Схема Н. Д. Моисеева:
2л
R3{a, р, I, й, (c), iW1) = ~^/?(a, р, i, М, Я, со, M{)dM, (4.9.10)
или
оо оо
R3{a, р, i, й, со, Ml) = fm1 ? Т. Со, k" ь,(а, р, t)X
fe2=a - ОО fe3= - ОО
XcosI/MQ-MO + M- (4.9.11) Для плоского варианта схемы Н. Д. Моисеева
имеем [34]
