Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
[1 - 2а cos (?2 - Q)-j-a2]-s/2 и на 2п рядов Фурье для [1-2b cos (?2 + Q)
+ b2]-s/2, получим 2п рядов для (ai/A)8. Имея 2п тригонометрических рядов
по cos/?я и sin/?2 для (ai/A)s, мы можем с помощью гармонического анализа
представить (ai/A)8 в виде двойного ряда Фурье по кратным эксцентрической
аномалии внутренней планеты ?2 и средней аномалии внешней планеты Mi.
Коэффициенты этого ряда находятся методами гармонического анализа и
вычисляются на основании ранее полученных коэффициентов.
Используя разложения для эллиптического движения и функции Бесселя (см.
ч. II, § 3.01), можно представить выражение (ai/A)J в виде двойного ряда
Фурье по кратным средних аномалий Mi и М2.
Глава 7
АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ
ВОЗМУЩЕНИИ КООРДИНАТ
Так как подавляющее большинство задач небесной механики не относится к
интегрируемым в квадратурах, для их решения разработаны различные
варианты метода последовательных приближений. В настоящей главе будут
приведены основные формулы для вычисления возмущений координат в задаче о
движении двух планет, причем ради определенности центральное тело будем
называть Солнцем. Аналитические методы вычисления возмущений координат
излагаются в [1]-{7].
§ 7.01. Метод Хилла
Дифференциальные уравнения для возмущений прямоугольных гелиоцентрических
координат (бх, б у, б г, б г) и цилиндрических (бл, 6Л,, 6г),
использовавшихся Хиллом {2], [4], имеют вид
d2 (гс dt
(4.7.01)
(4.7.02)
§ 7.01] ГЛ. 7. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ КООРДИНАТ 409
где
П - dR dR dR
^ ду У дх дк
(4.7.03)
(4.7.04)
Ii = f(m0 + nii).
Здесь R - возмущающая функция, / - постоянная тяготения, т0- масса
Солнца, т - масса возмущаемой планеты Pi, г0, zQ - невозмущенные
величины.
Интегрирование уравнений (4.7.01) по методу Хилла дает для возмущений
прямоугольных гелиоцентрических координат следующие интегральные
соотношения:
где qi(t), 42 (0 - два линейно независимых частных решения уравнения
Интегральные соотношения (4.7.05) для 6*, Ьу, бг содержат шесть
произвольных постоянных (они входят в интегралы
^qiQxdt, ..., ^ q2Qzdt). Возмущение г0Ьг содержит три произвольные
постоянные. Однако имеется только шесть независимых
г о бг = ?2 J 4iQr dt - q( J q9Qr dt, йх = q2 J qiQx dt~qi\ q2Qx dt, t>y
= q 2 5 4i Qy dt - qi^ q2Qy dt, 6z = q2 ^ qiQz dt - q^ q2Qz dt,
(4.7.05)
410
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЁННОГО ДВИЖЕНИЯ
[$ ?-01
произвольных постоянных, так как возмущения блс, б у, Ьг, б г связаны
тождествами
г0 б г = х0 Ьх + у0 by + z0 bz + ^ (6*2+6у2+б22)-^ Mr)2, (4.7.07)
2 2/"0
dx" d(6x) , dyB d (бу) dz0 d (6z) , ц ^ ,
--------- + -77 .. + ----------- + - (Го ОГ) +
dt dt dt dt dt dt rtf
++да+(Tjj - j "¦ ("">
Произвольные постоянные интегрирования могут быть определены различными
способами. Например, они могут быть определены из условия выбора
оскулирующих элементов:
(6-?)(=о = 0, (6f/)f=0 = 0> (fiz)f=Q - 0|
(4.7.09)
te)t-о = °. |
'*)/=o = °- J
(fi*)*=o = °" (ОД)<=о = 0, (fii)
Ганзен предложил определять произвольные постоянные интегрирования не из
условия "оскуляции" (в начальный момент возмущения координат и скоростей
или возмущения элементов равны нулю), а из условия, что в формулах
возмущенной теории могут отсутствовать те или иные возмущения. Например,
в методе Хилла возмущение долготы имеет вид
6А, = Cj + C2v + F (sin v, cos и),
где Ci и C2 - произвольные постоянные интегрирования, v - невозмущенная
истинная аномалия, F - некоторый тригонометрический многочлен
относительно v.
Если бы Ci и С2 определялись из условия оскулирующих элементов, то
следовало бы написать для них уравнения
(6Я),=0 = 0 и (6А),=0 = 0.
Если же Ci и С2 определяются по Ганзену, то лучше всего положить Ci = С2
= 0. Тогда возмущение 6А, периодически зависит от V.
Очевидно, что в этом случае элементы возмущенной орбиты, хотя и
определяются уравнениями для оскулирующих элементов, на самом деле не
являются оскулирующими. Ганзен предложил назвать эти элементы средними
элементами. Средние элементы получили большое распространение в
аналитической небесной механике, так как они очень часто представляют
астрономические наблюдения на больших промежутках времени лучше, чем
оскулирующие элементы. Математический аспект введения "средних" элементов
в аналитические теории движения небесных тел изучен в монографии [36)
S T.oi] ГЛ. 7. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИИ КООРДИНАТ
Если в качестве qi{t) и qi(t) взяты частные решения 42
то возмущениям координат можно придать вид
rn cos v,
:W = V МГГ08'ПВ*
411
(4.7.10)
6 r - jQ/osin (S- - v)dv,
6x = Гр 1 HP . jQ^'sin (0- -v)dv,
by = ''О 1 ИР . j Q/a sin (0- -v)dv,
6 2 = Zp 1 ИР . jQ/gsin (0- - v)dv,
(4.7.11)
где п - среднее движение возмущаемой планеты Pi, а - большая полуось ее
орбиты, р- параметр, и - истинная аномалия, v - постоянная величина под
знаком интеграла, которую после интегрирования надо положить равной и.
Возмущения цилиндрических координат имеют вид
6r = J Qrrl sin (й - v) dv,
- QKdv-cost
,(' + 'o) а'~(г + го)
