Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
Тогда имеем
2П2П
\2rfdMdMu
о о 2л 2 Я
sino • S-j-[coso-j-(cosu-j-e)y] Т}dMdMu
о о 2я 2я
= S7COSu-WdMdMu
0 0 2п 2я
ая = -^2 ^ 5 " s*n u C0Sec i' ^ ^ ^1"
о о 2я 2л
". = ТНгП[-^5 + ^(1+7)?-
о о
- sin uctgi ¦ 'RPjdAf dMu
2n 2я __
S-fVf MslnU-C0S0)S +
0 0
+ ±NT]-^dMdMl.
Здесь M, Afj -.невозмущенные средние аномалии возмущаемого и возмущающего
тел. Под знаком интегралов в (4.8.04) оскулирующие элементы принимают
невозмущенные значения.
Точность вычисления коэффициентов вековых возмущений ар, ..., ат
определяется точностью вычисления определенных интегралов, входящих в
формулы (4.8.04). Эта точность может быть сколь угодно высокой. На
современных вычислительных машинах подобные вычисления не вызывают
никаких трудностей.
j (4.8.04) I
424
Ч. IV, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
" 8.03
§ 8.03. Метод Лагранжа определения вековых возмущений в двухпланетной
задаче
Введем вместо оскулирующих элементов еи е2, Пь П2, ii, i2, Qi, Q2 планет
Pi и Р2 новые элементы:
которые часто называются элементами Лагранжа.
Для этих элементов, используя вековую часть возмущающей функции (4.6.27),
выписанную с точностью до вторых степеней
о, ех, е2, можно написать следующую систему дифференциальных
уравнений:
ha = es sin П,, ps = tg is sin ks = es cos П^, qs = tg it cos Q,
(4.8.05)
(4.8.06)
dk2 _ 2fmiP L
-----=-------------n- il\
dt пД
2 Я 2>
где
(4.8.07)
а а1 < а2, Ьз\ bf1 - коэффициенты Лапласа.
5 8.03] ГЛ. 8. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ 425
Система (4.8.06) является линейной системой с постоянными коэффициентами,
и ее общее решение можно написать в виде [2]
[Mi1' cos (V + р,) + Mi2' cos (k2t + Pa)].
1
"1 VffMrti
1
"1
1
а2 у m2n2
1
а2 ¦y/m2n2
1
ai V^i^i
1
Ч\
1
а2 Ут2л2
1
а2 *Jm2n2
cos (kit + Pj) + cos (k2t + P2)],
(4.8.08)
где Яь Хг, xi = 0, X2 - корни вековых (характеристических) уравнений
7}-2 fN(-^ + -^VU + - 'т'?т (^2 " -P2) = 0. (4.8.09)
\n24 "i"i / *№№
x2 + 2/^f-^LV + -%V = °- (4.8.10) 4 nA ","1 )
Произвольными постоянными в общем решении (4.8.08) можно считать рь р2,
Ali", Мf\ Yi> Y2. а остальные величины
определяются из соотношений
2fP / m\tn2 2fP I гп\гп2
.<(1) °1°2 V 'П1П2 Д/Т(2) °1°2 V "ln2
= ^1, Mw = MC
2 JNmi , 2 fiVm,
-------2-----A' -------Г"
ПЛ n2al
f (1) _ f(l> fl2 Vm2"2
i-2 = Li ----------, . ,
a, Vmirti
La* = Z-(2) -J
n,a
¦ + x2
i"i
2f jV / WiW2
V ^1^2
(4.8.11)
Из условия xi = 0 следует, что в двухпланетной задаче существует решение,
при котором плоскости орбит планет совпадают (й = it, Qi = Я2). Заметим,
что xg <С 0.
426
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 8.04
Замечание 1. Изложенный метод решения дифференциальных уравнений для
элементов Лагранжа (4.8.06) получил в специальной литературе название
"метода Лагранжа вычисления вековых возмущений", хотя, как видно из
общего решения
(4.8.08), элементы Лагранжа изменяются периодическим образом. Это
объясняется тем, что в уравнениях для элементов сохранена лишь вековая
часть возмущающей функции с точностью до вторых степеней малых величин.
Замечание 2. Метод Лагранжа допускает простое обобщение на случай л-
планетной задачи, и изложение этого вопроса можно найти в книге [2].
Можно показать, что для всех планет Солнечной системы, кроме Плутона, все
корни К положительны и различны, а все корни х отрицательны и различны,
кроме одного, равного нулю.
§ 8.04. Основы метода Делоне
Для решения основной проблемы (см. гл. 10) теории Луны Делоне [2], {29]
разработал метод решения канонических уравнений движения, получивший в
литературе название "метода Делоне". Метод Делоне был видоизменен
Цейпелем, и здесь мы изложим основные формулы "метода Делоне - Цейпеля"
[2], [30].
Пусть уравнения движения небесного тела записаны с помощью канонических
переменных Делоне (4.3.21) и имеют вид
(4.3.22). Гамильтониан системы R* выражается через возмущающую функцию R
(см. § 3.07).
В основной проблеме теории движения Луны разложение возмущающей функции R
в виде явной функции элементов Делоне представляется четырехкратным рядом
вида
оо оо оо оо
Е Е X X Api- р,- р>. Ptcos (pJ ~Ь Ргё + p3h + рцк),
рi=0 ра=-оо pj=-oo Pf=-оо
(4.8.12)
где I, g - элементы Делоне, а через h обозначена разность элемента Делоне
и долготы перигея орбиты Солнца, k - средняя аномалия Солнца. Функция R
зависит явно от времени посредством средней аномалии Солнца к, поэтому
вместо канонической системы шестого порядка (4.3.22) Делоне и Цейпель
рассматривали каноническую систему восьмого порядка:
dL dF dl dF
dt ~ dt ' dt ~ dL
dG dF dg _ dF
dt ~ dg ' dt dG
dH dF dh dF
dt dh ' ~df~ dH
dK dF dk dF
dt ~ dk ' dt dK
§ 8.04] ГЛ. 8. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ 427
где
2 U
dk dF
vK + R, (4.8.14)
dt
W- <4-8-15)
v - среднее движение Солнца.
Уравнения (4.8.13) отличаются от (4.3.22) тем, что их гамильтониан F не
зависит явно от времени.
Основная идея метода Делоне заключается в том, что с помощью некоторого
канонического преобразования переменных из канонических уравнений
