Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
исключаются наиболее влиятельные члены. Заменим гамильтониан F в
уравнениях (4.8.13) приближенным значением F:
F = ~2jT - + ^о. о, о. о + Qi cos (4.8.16)
где
в = р11 + p2g + p3h + pAk.
Гамильтониан (4.8.16) отличается от (4.8.14) тем, что в (4.8.16)
сохранены лишь два члена разложения возмущающей функции
(4.8.12) с коэффициентами Л0,0,0,0 и Q, = АРи р" где ри Р2, ръ, Pi
принимают конкретные значения. Оставленный единственный периодический
член в гамильтониане (4.8.16) имеет относительно больший коэффициент, чем
все другие отброшенные периодические члены из (4.8.12).
Ради симметрии введем обозначения
L\ = L, L2 = G, L3 = tf, Li = K., 1
/,=/, 'h = g. h = h, l4 = k, j (4l8,17)
F = Fq -f- F[, Fq = -VL4, F{ = 0i о, 0 "I- Qicos 0. (4.8.18)
Тогда вместо системы (4.8.13) рассмотрим уравнения
ТГ = |г' ТГ = ~Щ № = 1.2, 3,4). (4.8.19)
Вместо прежних канонических переменных (Lk, lh) с помощью производящей
функции SW\ L[[\ Ьз\ Li1; lu l2, /3, /4) введем такие новые канонические
переменные 1Л\ /У1, чтобы в преобразованных уравнениях гамильтониан был
бы функцией
только L\l\ L20, Ьз\ LV*.
В теории движения Луны функция Fj имеет множителем малый параметр К
= \2/п2 (отношение квадратов средних
428
Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 8.04
движений Солнца и Луны ~ 0,006), поэтому производящую функцию sWi0; Ik)
будем искать в виде ряда по степеням малого параметра К:
S(UI);'/*) = ZSy(4,); /Д
1=0
(4.8.20)
в котором член Sj пропорционален V. Новый гамильтониан можно также
представить рядом
FW4. 4", т =
1=0
С точностью до членов второго порядка относительно % включительно новый
гамильтониан и производящая функция выражаются формулами
S0 = l}\4\ + Lz'lz + ЬзЧз + LX'U, Q(i)
¦ (I)
0)/
r(l),
Si = ----------------sine,
P 1"U' + p"v Q<*>
n 1 \ 1 дЛ0ш Q( Q , _ -
S2= (Pl"<') + P4v)2 fyPi dLf S 0 +
pW
+ [s L\V(PlnU+Pi
+ ¦
lV>3
dA
о, о, о,0
dA
о, о, о, 0
dI</>
dL,
\l=l?)
Q<'> 3
y^ + P.v)2^
(I) j (1) ¦2 , L3 ,
dQ i o* 1
dL)l) dL]
dQ, "I
Ъчщ sin29'
1=1 1 J
¦vLV>,
F0=2L\V
Ъ=Ао. o.ftoW", 4'V^, LVO,
1
3 "(1> р2 = ~~ '77TT
Q<">
5Q,
(4.8.21)
По аналогичным формулам можно вычислить и приближения более высоких
порядков. Для этого необходимо воспользоваться
S 8.04] ГЛ. 8. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ ЭЛЕМЕНТОВ 429
основным уравнением метода Делоне - Цейпеля:
l4'+z^)+
\ 1=1 i=i /=1 /=1 /
^(^ + Ё^.4'ЧЁ^.4'ЧЁ^, е) =
\ 1=1 1=1 1= 1 /
+
= 2^WI), 41', ^О- (4.8.22)
1=о
Соответствующие приближения получаются из (4.8.22), если разложить левую
часть в ряд Тейлора и приравнять величины одинакового порядка малости.
Связь между старыми и новыми каноническими переменными выражается
равенствами
= + (* = 1, 2. 3, 4),
l=i
°° dS/
Т (* = 1,2,3),
/=i
l?=U.
(4.8.23)
С помощью теоремы о неявных функциях из (4.8.23) получим Lh, lh в виде
функций L* \ 0(1) = pi/*0 + рг#' + Рз#' + Величины Lh, lh являются
некоторым приближением для точных элементов Делоне, так как мы
рассматривали приближенные уравнения движения (4.8.19) вместо точных
уравнений (4.8.13). Указанный метод позволяет, в сущности, исключить из
уравнений член, содержащий cos 0. Если в конкретной задаче требуется
исключить другие члены, аргументы которых кратны 0, то можно повторить
преобразование Делоне - Цейпеля, однако здесь встречаются трудности,
связанные с появлением малых знаменателей [см. формулы (4.8.21)]. Влияние
малых знаменателей различно в различных задачах небесной механики, но,
как показали Делоне и Цейпель, в теории движения Луны эти трудности
преодолимы. Следует, однако, сказать, что строгого математического
обоснования метода Делоне не получено (имеется в виду доказательство
сходимости использованных рядов).
Брауэр {2] модифицировал метод Делоне применительно к задаче о движении
искусственного спутника.
430 ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [в 8.05
§ 8.05. Связь между возмущениями координат и возмущениями элементов
Пусть хи хз, Хт - некоторая система координат, а ai, аг, ..., а" -
некоторая система элементов. Обозначим пол-* ное возмущение координаты Xi
через бл:г, а полное возмущение элемента а,- - через ба(. Согласно
(4.8.02)
оо оо
tei = х в**/. = Z в*"*/- (4.8.24)
fc=i fc=i
Пусть координаты и элементы связаны соотношениями
Xi = fi(t, ah ..........) (t = 1, 2, m). (4.8.25)
Тогда полные возмущения координат выражаются через полные возмущения
элементов с помощью ряда
оо
1
бх' Yj Yj ki\k2\ ... ks\ X
n"= 1 A,+ft2H-
X f я (6"l)fcl • • • (6as)fcs* (4l8'26)
Vdal da2 das )0
Для возмущений первого и второго порядка имеем бЛ = (|)о{'">+Й^+
+(r)06ia-
б2Х' = ((c)об2а1+ "К'Ш об^ +
+i 1Ш). (6|",)!+(Щ,<w+ • ¦• ¦¦+ (Ш м+
+2(i?kXMM+ +2(^?кг).(в'а'-)М-
(4.8.27)
В формулах (4.8.26) и (4.8.27) индекс "О" означает, что в частных
производных элементы заменены своими невозмущен-ными значениями.
В частности, для возмущений первого порядка полярных координат Ганзена
(см. § 1.11) имеем
= б^ + [Hi cos Af + 2tf2 cos 2M + 3Я3 cos 3Af + ... ] -
