Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
(к - к' + п - п') - ^ cos [к - к' - л + л') -
- -|-cos {к + к' - л - л') + х cos (3к - Зк' - л -f л') -
- у cos (ЗА, - к' - л - л') - -у- COS (Л - Зк' + л + л')] +
+ е'2 [| cos (2к' - 2л') + -у - cos (2к - 4к' + 2л')] +
+ y2[| cos (2к - 2Я) + -| cos (2к' - 2Я)] +
+ 1Г [т cos ^ " Л') + j cos (Зк - ЗА/)] }. (4.10.09)
3 ю.оз] гл. ю. Теория движения луны 447
Наиболее полное разложение возмущающей функции с точностью до членов
шестого порядка относительно е, е', у и третьего относительно а/а',
содержащее 324 члена, имеется в [51].
Разложение по полиномам Лежандра возмущающей функции, используемой в
уравнениях (4.10.03), записывается с точностью до членов пятого порядка в
виде
- к2т" Г/ г V , тТ - т. ( г \3
*=-7*[Ы Р2(с05а) + ф^Ы ^з(соза) +
mi - тгт, + и) / г V
+ - ЧтО
ml - niitn, + тгт2, - т) ( г\5 ,
+ - -{4 + т/- (у) ^(COSCXOJ. (4Л0.10)
где а' -угол между направлениями CS и CL (см. рис. 66).
При решении основной проблемы функцию R заменяют функцией R, a k2ms-
величиной п'2а'3 и используют разложение вида (4.10.09). После нахождения
окончательных формул для возмущений в них вносят поправки, обусловленные
такой заменой.
§ 10.03. Решение Делоне основной проблемы
в теории движения Луны
Исследования Делоне содержатся полностью в [51]. Изложение математических
основ метода, применявшегося Делоне, имеется, например, в [7], [41],
[42].
Делоне рассматривает в качестве исходных канонические уравнения движения
вида (4.3.22) относительно переменных L, G, Н, I, g, h. Эти переменные
связаны с оскулирующими элементами орбиты Луны вокруг Земли: большой
полуосью а, эксцентриситетом е, наклоном i, долготой перигея л, долготой
восходящего узла Q, средней долготой в орбите Я по формулам
(4.3.21), так что
\ = l-\-g-\-h, it - g-\-h, fi = A,
L2 /' (F . i /1 7Г ^ (4.10.11)
a =
/, G2 . i /1 И e V L3 ' Sln 2 V 2 2G '
где n = k2(mT + mL).
Выше мы кратко указали (см. § 8.04) на принцип метода Делоне. В
соответствии с этим принципом Делоне выполнил 497 последовательных
канонических замен переменных
(L.....A)-*(L">.......O-U(r)............А")- ...,
448
Ч< IV, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 10.03
а также сопутствующих замен переменных а, е и у - sin у,
(а, е, у)->0Л Л Л-ОЛ Л Y(21)
называя эти замены операциями. Параллельно производились преобразования
возмущающей функции R, выражающейся непосредственно через а, е, у, I, g,
h. Для простоты записи все переменные при этих преобразованиях
обозначаются у Делоне одинаково, т. е. верхние индексы отсутствуют. В
процессе выполнения операций переменные а, е, у теряют свой смысл оску-
лирующих большой полуоси, эксцентриситета, синуса половины наклона
орбиты, но все же остаются близкими к ним. Точно так же получаемые
последовательно переменные I, g, h не выражаются через оскулирующие
элементы X, я, Q по формулам
(4.10.11), но в среднем отражают поведение этих элементов в соответствии
с (4.10.11). Связь между переменными а, е, у и L, G, Н, получаемая в ходе
преобразований, становится отличной от (4.10.11). Все формулы Делоне
располагает по степеням переменных е, у, отношений а/а', п'/п, а также
е', причем п связано с а формулой
п2 - k2 {тт -f- mj/a3
и представляет собой аналог среднего движения Луны.
В конце концов Делоне приходит к таким окончательным переменным, что
соответствующая возмущающая функция R содержит лишь малые члены выше
шестого или седьмого порядка относительно е, е', у, Vа/а', п'/п. Полагая
ее равной нулю, Делоне получает уравнения
dL " dl 3R0 dt ' dt .................
где Ro - невозмущенная часть гамильтониана (см. 4.3.21), выраженная через
окончательные переменные. При этом Ro не зависит от угловых переменных I,
g, ft.
Окончательные уравнения Делоне для I, g, h в явном виде, если
ограничиться членами пятого порядка относительно е, е', Y, п'/п, а/а',
следующие:
_(225 _ Я V2 ,675 2 825 p,A(J^
V 32 4' 64 ^32 ^\л
3265 / п' у 243925 / п' у
128 V п ) 2048 V п )
(4.10.12)
§ 10.03]
ГЛ. 10. ТЕОРИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛУНЫ
449
27
+ ( 4
^-т^+1ИК-)3 +
( п' V , 17709 ( п' у ,
I п ) + 128 { п ) +
1995
64
(4.10.12)
+ШУ+^(0Ш},
177 Г п' у 10949 (п'\5 128 I п ) 2048 I п ) "г
+[Шг+1КтГШ}-
Решение этих уравнений вида
Z = ш,? + const,
при постоянных а, е, п вместе с выражениями для L, G, Н через а, е, у, п
рассматривается как общее решение исходной задачи, но представленное не
исходными переменными, а другими, связанными с исходными переменными
последовательностью преобразований.
Формулы Делоне для L, G, Н, если ограничиться в них членами не выше
пятого порядка, следующие:
i = Vw{ 1 +-g?(-r) +тН'т) }¦
0=Vw{ + f vV + iM4)' +
. 675 2 (n' V 13 fn'y . 79 fn' VI
+ me hr) +Й T +ТбЫ •
f I i (4.10.13)
H - V | 1 - 2y2 - Y e2 + \2e2 - -g- e4 +
+(bv+^)(4)4!vs-1H(4)1 +
+Ш'+Ш!Ь
Если были бы выведены формулы, непосредственно связывающие окончательные
переменные L, G, у, выписанные в (4.10.12), (4.10.13), с первоначальными
переменными L, G..Y (по Делоне онн обозначаются, как мы уже отмечали
