Справочное руководство по небесной механике и астродинамике -
Скачать (прямая ссылка):
,dv.
62 =--^ Q/l sin (v - v) dv.
(4.7.12)
Интегральные соотношения (4.7.11) и (4.7.12) являются точными. Для
определения возмущений по этим формулам применяется метод
последовательных приближений.
Для определения лишней произвольной постоянной следует воспользоваться
равенством
dX0 d(6X)__d ( drв d {br) \
Г° dt dt dt + 0 dt )
_3 \ d'R-2r^ + ±^t-"^-J dr 2 dt2 ггйг
-1Ш (W - <teW - T ¦r"'(1 + 2 тг) -
412
Ч, IV, ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ
[§ 7.02
Для получения возмущений первого порядка необходимо подставить в (4.7.12)
невозмущенные значения координат и элементов (на это указывает нижний
индекс "0")
Формулы для возмущений первого порядка (4.7.14) написаны при условии, что
за основную координатную плоскость выбрана плоскость невозмущенной орбиты
(i = 0°, z0 = 0).
Подробные рекомендации, необходимые для использования метода Хилла, можно
найти в [2], [28].
Замечание. В качестве переменной интегрирования можно принять не только
истинную аномалию возмущаемой планеты и, но и другие переменные,
например, время t или эксцентрическую аномалию Е.
§ 7.02. Метод Ганзена
Основная идея метода Ганзена состоит в том, что рассмотрение возмущенного
движения планеты Р разделяется на следующие этапы: сначала можно
интегрировать уравнения в прямоугольных координатах Ганзена (4.1.18) или
в полярных координатах Ганзена (4.1.43), т. е. сначала можно изучить
возмущенное движение точки Р в плоскости оскулирующей орбиты XY (см. рис.
62). Затем можно рассмотреть уравнения, определяющие положение плоскости
оскулирующей орбиты XY относительно плоскости ху\ далее в долготу (см.
рис. 63) необходимо внести поправки, обусловленные движением оскулирующей
плоскости. Для планет Солнечной системы эти поправки достаточно малы.
Существо метода Ганзена состоит в следующем (подробности см. в [2]).
Связь между сферическими координатами г, L, В и координатами Ганзена г, w
выражается формулами (см. рис. 62)
V = J [*o+2r3 J r-2^sin Оо^о+Го) *>o] sin(o0 ~v0)dv0,
(4.7.14)
в,г =^Z0 sin (v0 - v0) dv0, где
cos В cos (L - Q) = cos (и> - or), cos В sin (L - Q) = cos I sin (w -
ст), sin В = sin t sin (w - or).
(4.7.16)
в 7.02] ГЛ. 7. МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ВОЗМУЩЕНИЙ КООРДИНАТ 413
Если вместо i и Q подставить i0 = i(t0) и Qo = fi(M> т0 Ра< венства
(4.7.16) нарушатся, но это "нарушение" будет порядка возмущающих масс.
Обозначим через s, s^sinqp, - яЛсоЭф поправки к правым частям
соответствующих формул (4.7.16), ликвидирующие нарушение равенств, а
через Г - поправку к Qo. которая вообще является функцией i и Q. Кроме
того, положим Go = Qo-
Тогда будем иметь строгие равенства:
cos Ъ cos (L - Q0 - Г) = cos (w - Q0) + sin Ф, cos В sin (L - Q0 - Г) =
cos iQ sin (w - Q0) - sA cos ф, sin В = sin t0 sin (w - й0) +
s.
(4.7.17)
Обозначим через z и v поправки к величинам, характеризующим некоторый
вспомогательный эллипс, лежащий в плоскости оскулирующей орбиты, и введем
их, согласно Ганзену, с помощью соотношений
noZ = E0 - е0 sinE0, r0 cos v0 = а0 (cos Е0 - е0), (4.7.18)
г0 sin vQ = aQ'\J\ - el sin E0.
r = r0(l+v). (4.7.19)
Здесь a0, n0, e0 - постоянные величины, параметры вспомогательного
эллипса, v0, Е0 - истинная и эксцентрическая аномалии, /о - радиус-вектор
вспомогательного эллипса, n0z - возмущенная средняя аномалия.
Вспомогательный эллипс выбирается таким образом, чтобы точка с
истинной аномалией v0 лежала на возмущенном радиусе-
векторе г. Тогда w - долгота планеты Р, отсчитываемая от на-
чальной точки, а г0 и 0О - радиус-вектор и истинная аномалия той точки
вспомогательного эллипса, в которой возмущенный радиус-вектор г
пересекает этот эллипс.
Таким образом, для полного решения возмущенной задачи по методу
Ганзена необходимо определить v, z, s, А, ф как функции
времени, а также выяснить смысл величин По, а0, е0, Яо (дол-
гота перигелия вспомогательного эллипса) и постоянных, появляющихся в
процессе интегрирования.
Для определения возмущенной средней аномалии rioZ и величины v имеются
интегральные соотношения
Лог = nrf + С0 + ^ i^v2 fhdt, (4.7.20)
v=c-НСтг)* <4-7-21>
414 Ч. IV. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕННОГО ДВИЖЕНИЯ [§ 7.02
где С0, С - произвольные постоянные,
<4-7-22>
причем
h0 = f(w0 + w) _ f (т0 + т) h _ f (wq -f m) = f(ma + m)
N
0Й0 n.°j V1 ~ e0 ^ no' Vl - r2
t__ e cos (x - л0) - eD e sin (x - я0)
1 "2 ' Т1 i 2
1 e0 1 - e0
(4.7.23)
Величины h, g, т] можно рассматривать как некоторую систему оскулирующих
элементов. Величина х (см- Рис- 62) представляет долготу мгновенного
перигелия, отсчитываемую от оси X.
Выясним смысл величины . входящей в равенство
(4.7.21). Функция W зависит от времени t двояким образом: через
посредство параметров г0 и и0 вспомогательного эллипса и через посредство
оскулирующих элементов. Обозначим "первое время" через т, а для "второго
времени" сохраним прежнее
обозначение t. Символом будем обозначать производную
по т функции W(t) = W{т, t), рассматриваемой как функция двух переменных
т и t, в которой после дифференцирования т снова заменено на t.
